前回まで、分数の逆数は既約分数を倍分する形で、比の外項の積・内項の積は一番小さい整数の比を倍分する形で、考えた。その前提条件は、計算結果が同じ分数は既約分数が同じになることであった。今回から、その理由について考える。結論を先にいっておくと…

前回まで比について考えたことを、以下の２つの証明にまとめる。【証明［３］：のとき、外項の積と内項の積は等しい】のとき、 比の値はになる。【証明［１］】の証明結果から、 のとき、計算結果が 1 になる分数の分母の数と分子の数は等しいので、 外項の…

比の値が既約分数の場合と、可約分数の場合に分けて、一番小さい整数の比を倍分する形で外項の積・内項の積を計算した例を以下に示す。 （一番小さい整数の比の前項と後項に色をつけて区別できるようにした） ①と同じ比 ②と同じ比

今回は、比例式の外項の積・内項の積について一番小さい整数の比との関係をもとに考える。逆数を求める手順に従って、逆数を求める例を以下に示す。 の一番小さい整数の比のとき、以下のように定義する。 上記の定義で、外項の積と内項の積を求めると、以下…

今回は、比例式の外項の積・内項の積について考える。比例式 は、と の比が同じであることを意味する。 のとき、外項の積内項の積となる。の比の値で、外項の積・内項の積について考えてみる。 のとき、以下のようになる。 の分母と分子を入れ替えると、以下…

今回は、ある比を、比の値の既約分数が同じ別の比に変換する方法について考える。ある比を、比の値の既約分数が同じ別の比に変換する方法には以下の方法がある。1回の約分・倍分で変換できない場合は、さらに倍分・約分をする。①倍分する。 ②倍分後に約分す…

今回は、比の可約分数と既約分数について考える。 約分できる比を可約分数という。それ以上約分できない比を既約分数という。たとえば、12 : 18 は、2 , 3 , 6 のいずれかで約分できるので可約分数である。12 : 18 を 2 で約分した 6 : 9 は、3 で約分できる…

今回は、分数の逆数との関係を考えるうえでの比に対する用語を定義する。比では「簡単な比に直す」というような言い方をするが、分数の倍分・約分に該当する用語がない。そのため、可約分数・既約分数に該当する用語もない。仕方がないなので、比の値の分数…

a:b という比の、比の値は、分数であらわされる。 a:b の前項 a と後項 b に同じ数を掛けても比の値は変わらない。a:b の前項 a と後項 b が同じ数で割り切れるとき、前項 a と後項 b を同じ数で割っても比の値は変わらない。a:b と c:d が同じとき比の値は…

今回から、比について考える。a:b という形の比は、 という形の分数の、表記方法を変えただけの別表現と考えることができる。比(a:b)と分数( )には、以下のように同じ性質がある。a:b の比の値は、分数であらわされる。a:b と c:d が同じとき比の値は同じに…

前回まで分数の逆数について考えたことを、以下の２つの証明にまとめる。【証明［１］：のとき、の分母・分子を入れ替えた分数は、 の逆数になる。】 なので、のとき、の分母・分子を入れ替えた分数はの逆数になる。■ 【証明［２］：が任意の既約分数のとき…

今回は、倍分や約分の意味について、あらためて考えてみる。分数の倍分や約分は、どんな数で倍分するか、どんな数で約分するかに関係なく、1を掛けることを意味する。倍分は分母と分子の両方に同じ数を掛ける。約分は分母と分子の両方を同じ数を割る。これら…

●既約分数がになる分数の逆数の例（既約分数の分母と分子に色をつけて区別できるようにした）①と、その逆数の掛け算 ②と、その逆数の掛け算 ③と、その逆数の掛け算 ④と、その逆数の掛け算 ⑤と、その逆数の掛け算

●既約分数がになる分数の逆数の例（既約分数の分母と分子に色をつけて区別できるようにした）①と、その逆数の掛け算 ②と、その逆数の掛け算 ③と、その逆数の掛け算 ④と、その逆数の掛け算 ⑤と、その逆数の掛け算

●既約分数がになる分数の逆数の例（既約分数の分母と分子に色をつけて区別できるようにした） ①と、その逆数の掛け算 ②と、その逆数の掛け算 ③と、その逆数の掛け算 ④と、その逆数の掛け算 ⑤と、その逆数の掛け算

●既約分数がになる分数の逆数の例（既約分数の分母と分子に色をつけて区別できるようにした）①と、その逆数の掛け算 ②と、その逆数の掛け算 ③と、その逆数の掛け算 ④と、その逆数の掛け算 ⑤と、その逆数の掛け算

既約分数が同じになる全ての分数の逆数は、既約分数の分母と分子と入れ替えた分数を倍分した全ての分数になることを確かめる例を次の記事に示す。既約分数がになる分数について、既約分数の分母と分子と入れ替えた分数を倍分した分数が逆数になることを確か…

もとの分数が既約分数の場合と、可約分数の場合に分けて、逆数を求める手順に従って求めた分数が、手順③で何倍に倍分するかに関係なく逆数になることを確かめる例を以下に示す。 （既約分数の分母と分子に色をつけて区別できるようにした） ●もとの分数が既…

今回は、既約分数が同じ分数の逆数について考える。もとの分数と、その逆数になる分数のいずれにおいても、既約分数が同じ分数の計算結果は同じになる。したがって、既約分数が同じになる全ての分数の逆数は、既約分数の分母と分子と入れ替えた分数を倍分し…

今回は、逆数を求める手順に従って求めた分数が逆数になる理由を、具体的な値をもとに考える。逆数を求める手順に従って、逆数を求める例を以下に示す。もとの分数は、①の分母と分子を入れ替えると、②を既約分数に約分すると、 ③を 4 で倍分すると、もとの分…

今回は、分数の逆数について考える。ある数に、掛け算すると1になる数を逆数という。以下の①～③の手順で計算した分数は、全てもとの分数の逆数になる。①もとの分数の分母と分子を入れ替える。 ②上記①の分数を既約分数にする。 ③上記②の分数を倍分する。③の倍…

今回は、ある分数を、既約分数が同じ別の分数に変換する方法について考える。ある分数を、既約分数が同じ別の分数に変換する方法には以下の方法がある。1回の約分・倍分で変換できない場合は、さらに倍分・約分をする。①倍分する。 ②倍分後に約分する。 ③既…

今回は、可約分数・既約分数について考える。 約分できる分数を可約分数という。それ以上約分できない分数を既約分数という。たとえば、は、2 , 3 , 6 のいずれかで約分できるので可約分数である。を 2 で約分したは、3 で約分できるので可約分数である。を …

今回は、分数の倍分・約分について考える。 分母と分子の両方に同じ数を掛けることを倍分という。倍分しても、分母に対する分子の割合は変わらないため、分数の計算結果は変わらない。分母と分子の両方が同じ数で割り切れるときに、分母と分子の両方を同じ数…

比例式 の二つの比が同じとき、外項の積()と内項の積()が等しくなることを分数の逆数を使って考える。詳しい説明は後回しにして、以下に証明をのせる。まず、分数の逆数について証明して、その結果を使って、比例式の外項の積と内項の積について証明する。 …

から解の公式を導く。 （a ≠ 0とする）（ポイントになる部分をで示します。） …左辺を平方完成の形にする。 …式を整理する。 …両辺に を足す。 …両辺から c を引く。 …両辺をa で割る。 …右辺を分数の引き算にする。 …左辺をa で約分して分母を払う。 …右辺…

(2)の平方完成の手順 （ポイントになる部分や、間違えやすい部分をで示します。） …をaで括る。 …【】 …【】 …括弧の中をに因数分解 …できる形に変形する。 …が の … になるようするために、 …として …新たにを足す。 …新たに足した を引けば …式全体の計算…

(1)の平方完成の手順 （ポイントになる部分や、間違えやすい部分をで示します。） …をaで括る。 …【】 …【】 …括弧の中をに因数分解 …できる形に変形する。 …が の … になるようするために、 …として …新たにを足す。 …新たに足した を引けば …式全体の計算…

(2) でxが2つ求まる例 …左辺を3xで通分する。 …左辺を一つの分数にする。 …両辺に3xを掛ける。 …左辺を3xで約分して分母を払う。 …両辺から15xを引く。 …左辺をxの降べき順に並べかえる。 …平方完成を使ってxを求める。 …両辺に2.25を足す。 …両辺の平方根を…

(1) でxが1つだけ求まる例 …左辺を5xで通分する。 …左辺を一つの分数にする。 …両辺に5xを掛ける。 …左辺を5xで約分して分母を払う。 …両辺から20xを引く。 …左辺をxの降べき順に並べかえる。 …平方完成を使ってxを求める。 …両辺の平方根を求める。 …両辺の…