AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(17)

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（６）≫

前回に引き続き、○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えてみます。

≪｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率と、全ての場合の数や確率の最大値の関係≫

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数がわかったので、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率に、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数を掛けると、全ての場合の数や確率の最大値になることを計算で確かめてみます。
計算式は以下のとおりです。

[場合の数の計算式]
(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=25,401,600×3,432$
$=87,178,291,200$
$=$ (14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数)

[確率の計算式]
(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{1}{3,432}×3,432$

$=1$
$=$ (確率の最大値)

なお、確率の計算式で用いる確率の値に約分前の値を使うと、分子の計算式が、場合の数の計算式と同じになります。分子の計算結果は、分母(全ての場合の数)と同じ87,178,291,200になるので、計算結果は(確率の最大値)になります。

(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{25,401,600}{87,178,291,200} × 3,432$

$=\frac{25,401,600 × 3,432}{87,178,291,200}$

$=\frac{87,178,291,200}{87,178,291,200}$

$=1$
$=$ (確率の最大値)

≪●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係≫

今までにわかったことを整理すると、以下のようになります。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率は、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚がどういう順番で並んでいるかに関係なく全て同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる全ての条件について、場合の数や確率を合計すると、14個の石を一列に並べるときに起こる可能性がある全ての場合の数や確率の最大値と同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件を満たす場合の数や確率は全て同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた7つの条件を満たす場合の数や確率を合計すると、｢❶｣～｢❼｣カードに置き換える前の条件を満たす場合の数や確率と同じになる。

以上の4点から、●○❸○●○●○●○●○●○のように、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件の場合の数や確率を全て合計すると、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の最大値になることがわかります。

それはつまり、14個の石を一列に並べたときに起こる可能性がある全ての結果は、起こる確率が●○❸○●○●○●○●○●○という条件と同じ $\frac{1}{24,024}$ になる結果が集まって、できていることを意味します。

実際に計算してみると、場合の数の計算結果は14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数に、確率の計算結果は確率の最大値になります。計算式と計算結果は以下の通りです。

[場合の数の計算式]　
(●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数) $×$ (●石の個数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=3,628,800×7×3,432$
$=87,178,291,200$
$=$ (14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数)