AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(12)

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（１）≫　

今回は、すべての順位に｢○｣カード・｢●｣カードのいずれかが指定されている条件を満たす確率を求めて比較してみます。

≪1～7位が｢○｣／1～7位が｢●｣≫

○石の個数＝●石の個数のとき、14個の石を一列に列べるときの結果が以下の条件を満たす確率はどちも同じです。
　
[条件12-1] ○○○○○○○●●●●●●●
[条件12-2] ●●●●●●●○○○○○○○

[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

$\frac{\color{green}{7}}{14} \times \frac{\color{green}{6}}{13} \times \frac{\color{green}{5}}{12} \times \frac{\color{green}{4}}{11} \times \frac{\color{green}{3}}{10} \times \frac{\color{green}{2}}{9} \times \frac{\color{green}{1}}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{7}{7} \times \frac{6}{6} \times \frac{5}{5} \times \frac{4}{4} \times \frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} \\\$

≪1～4位・9～11位が｢○｣／1～4位・9～11位が｢●｣≫

○石の個数＝●石の個数のとき、14個の石を一列に列べるときの結果が以下の条件を満たす確率はどちも同じです。

[条件12-3] ○○○○●●●●○○○●●●
[条件12-4] ●●●●○○○○●●●○○○

[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

$\frac{\color{green}{7}}{14} \times \frac{\color{green}{6}}{13} \times \frac{\color{green}{5}}{12} \times \frac{\color{green}{4}}{11} \times \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{4}{7} \times \frac{\color{green}{3}}{6} \times \frac{\color{green}{2}}{5} \times \frac{\color{green}{1}}{4} \times \frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} \\\$

≪奇数位が｢○｣／奇数位が｢●｣≫

○石の個数＝●石の個数のとき、14個の石を一列に列べるときの結果が以下の条件を満たす確率はどちも同じです。

[条件12-5] ○●○●○●○●○●○●○●
[条件12-6] ●○●○●○●○●○●○●○

[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

$\frac{\color{green}{7}}{14} \times \frac{7}{13} \times \frac{\color{green}{6}}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{\color{green}{5}}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{\color{green}{4}}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{4}{7} \times \frac{\color{green}{3}}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{\color{green}{2}}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{\color{green}{1}}{2} \times \frac{1}{1} \\\$

≪[条件12-1]～[条件12-6]の計算式と計算結果≫

[条件12-1]～[条件12-6]の計算式は、分数の計算を1つの分数でまとめて行う形に変形して、分子の掛け算の順番を入れ替えると同じ式になります。掛け算は交換法則が成立するので、掛ける順番を入れ替えても計算結果は変わりません。

計算式と計算結果は以下の通りです。

$\frac{ \color{green}{7} \times \color{green}{6} \times \color{green}{5} \times \color{green}{4} \times \color{green}{3} \times \color{green}{2} \times \color{green}{1} \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }{ 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }\\\$
$= \frac{25,401,600}{87,178,291,200}\\\$
$= \frac{1}{3,432}$
$≒ 0.000291 \cdots ≒ 0.0291\ \%$

掛け算は交換法則が成立するので、分子の計算で掛ける順番を入れ替えても計算結果は変わらないということは、14個の石を一列に列べるときに、｢○｣カード7枚・｢●｣カード7枚からなる条件を満たす確率は、｢○｣カードと｢●｣カードがどんな順番で並んでいる条件なのかに関係なく、全て同じになることを意味をしています。

14個の石を一列に列べるときの結果で、下図のように○石と●石を入れる一列に並んだ各順位の小箱の位置はそのままで、○石を入れる小箱と、●石を入れる小箱が上下にずれた状態で置かれていると考えると、○石と●石がどんな順番で並んでいたとしとても、いすれの石の並べ方も $\color{green}{7} \times \color{green}{6} \times \color{green}{5} \times \color{green}{4} \times \color{green}{3} \times \color{green}{2} \times \color{green}{1} \times 7×6×5×4×3×2×1$ 通りになることがわかりやすいと思います。

[条件12-1を満たす結果]
○○○○○○○＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿●●●●●●●

[条件12-3を満たす結果]
○○○○＿＿＿＿○○○＿＿＿
＿＿＿＿●●●●＿＿＿●●●

[条件12-5を満たす結果]
○＿○＿○＿○＿○＿○＿○＿
＿●＿●＿●＿●＿●＿●＿●

以下の記事に続きます。
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