≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（４）≫
○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えてみます。
条件に出てくる記号の意味は以下の通りです。
｢○｣：NGT以外の曲（研究生の曲を含む）
｢●｣：NGTの曲（研究生の曲を含む）
｢①｣～｢⑥｣：AKB正規メンバーの曲
｢⑦｣：AKB研究生の曲
｢❶｣～｢❷｣・｢❹｣～｢❼｣：NGT正規メンバーの曲
｢❸｣：NGT研究生の曲
≪1～7位が｢○｣で7位が｢⑦｣／1～7位が｢●｣で7位が｢❸｣≫
○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に列べるときに特定の条件を満たす確率を求めるときに、条件で｢❶｣～｢❼｣のいずれか1枚のカードが指定されたとき、場合の数を計算するときの石の個数はいずれも1個です。
ということは、以下の条件を満たす確率の値はいずれも同じになります。
[条件15-1]●○❶○●○●○●○●○●○
[条件15-2]●○❷○●○●○●○●○●○
[条件15-3]●○❸○●○●○●○●○●○
[条件15-4]●○❹○●○●○●○●○●○
[条件15-5]●○❺○●○●○●○●○●○
[条件15-6]●○❻○●○●○●○●○●○
[条件15-7]●○❼○●○●○●○●○●○
また、●石は、❶❷❸❹❺❻❼の7個だけなので、上記の7つの条件を満たす場合の数や確率を合計すると、以下の[条件15-8]の場合の数や確率と同じになります。同じ順位の石だけを置き換えているので、同じ結果が複数の条件で重複して数えられることはありません。
[条件15-8]●○●○●○●○●○●○●○
[条件15-1]～[条件15-7]を満たす場合の数と確率は全て同じなので、7倍すれば（7回足せば）[条件15-8]の場合の数や確率と同じになるはすです。
実際に計算してみます。まず、場合の数について考えてみます。
掛け算は交換法則が成立するため、[条件15-1]・[条件15-8]の記号の並び順を変えても、場合の数は同じなので、同じ記号ごとに並べかえると以下のようになります。
[条件15-1]❶●●●●●●○○○○○○○
[条件15-8]●●●●●●●○○○○○○○
並べかえた条件の計算式を書き出すと以下のようになります。
[条件15-1]
[条件15-8]
2つの式を比べてみると、1番目の数字だけが違います。[条件15-1]が1で、[条件15-8]が7なので
[条件15-1]の式の計算結果を7倍すると、[条件15-8]の計算結果と同じになることがわかります。
次に、確率の値について考えてみます。
[条件15-1]と[条件15-8]の確率をもとめる計算式で、分子の計算式を、上記で並べかえ計算式にして、確率を求める計算式を比べてみると、分母の計算式（全て場合の数）は同じで、分子の計算式の計算結果（求める場合の数）が7倍になるので、確率の値も7倍になることがわかります。
[条件15-1]
[条件15-8]
確率の計算結果は以下の通りです。
[条件15-1]
[条件15-8]
[条件15-8]の確率の値を、[条件15-1]の確率の値で割ると7倍になっていることがわかります。
≪条件の意味の変更≫(2021.12.13追記)
これ以降、[条件15-9]のような条件を、説明の都合上、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件ということにします。
[条件15-9] ○●○❸○●○●○●○●○●
同じ条件でも、確率を調べる目的によって、意味合いを変更することがあります。
｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件の例として、以下のような条件があります。
[条件15-10] ●❸●●●●●○○○○○○○
[条件15-11] ○○○○○○○●❸●●●●●
[条件15-12] ○○○○●❸●●○○○●●●
[条件15-13] ●❸●●○○○○●●●○○○
[条件15-14] ●○❸○●○●○●○●○●○
これ以降、○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えていきます。
≪類似条件の場合の数と確率≫(2021.12.14修正)
○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に列べるとき、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率の値は、条件で｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚がどういう順番で並んでいるかに関係なく、全て同じになるので、以下のことがいえることになります。
- ｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1枚に置き換えた条件を満たす場合の数や確率は全て同じになる。
- ｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1枚に置き換えた7つの条件を満たす場合の数や確率を合計した値は全て同じになる。
たとえば、以下の条件はいずれも、｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件を満たす場合の数や確率が同じになります。また、｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた7つの条件の場合の数や確率の合計値も同じになります。
[条件15-15] ●●●●●●●○○○○○○○
[条件15-16] ○○○○○○○●●●●●●●
[条件15-17] ○○○○●●●●○○○●●●
[条件15-18] ●●●●○○○○●●●○○○
[条件15-19] ○●○●○●○●○●○●○●
[条件15-20] ●○●○●○●○●○●○●○
以下にいくつか例を示します。
以下の[条件15-21]～[条件15-27]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-28]の場合の数や確率と同じになります。
[条件15-21] ●❶●●●●●○○○○○○○
[条件15-22] ●❷●●●●●○○○○○○○
[条件15-23] ●❸●●●●●○○○○○○○
[条件15-24] ●❹●●●●●○○○○○○○
[条件15-25] ●❺●●●●●○○○○○○○
[条件15-26] ●❻●●●●●○○○○○○○
[条件15-27] ●❼●●●●●○○○○○○○
[条件15-28] ●●●●●●●○○○○○○○
以下の[条件15-29]～[条件15-35]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-36]の場合の数や確率と同じになります。
[条件15-29] ○○○○○○○●❶●●●●●
[条件15-30] ○○○○○○○●❷●●●●●
[条件15-31] ○○○○○○○●❸●●●●●
[条件15-32] ○○○○○○○●❹●●●●●
[条件15-33] ○○○○○○○●❺●●●●●
[条件15-34] ○○○○○○○●❻●●●●●
[条件15-35] ○○○○○○○●❼●●●●●
[条件15-36] ○○○○○○○●●●●●●●
以下の[条件15-37]～[条件15-43]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-44]の場合の数や確率と同じになります。
[条件15-37] ○○○○●❶●●○○○●●●
[条件15-38] ○○○○●❷●●○○○●●●
[条件15-39] ○○○○●❸●●○○○●●●
[条件15-40] ○○○○●❹●●○○○●●●
[条件15-41] ○○○○●❺●●○○○●●●
[条件15-42] ○○○○●❻●●○○○●●●
[条件15-43] ○○○○●❼●●○○○●●●
[条件15-44] ○○○○●●●●○○○●●●
以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(16) - 丿乀庵【へつぽつあん】
