2021-12-12

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(21)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪平山氏の記事の評価できる点と問題点≫

今まで平山氏の記事の疑問点について、ひとつひとつ確認してきました。平山氏の記事を読んで感じた、評価できる点と問題点をまとめてみます。

≪平山氏の記事の評価できる点≫

以下の記述は、確率の定義にある同様に確からしい結果になることを意識して、石を選んで並べる手順を説明されているのだと思われる。

作為性がない場合、NGTの曲が奇数順位だけに入り、研究生の曲が３位になる確率は、手触りに差のない●石６個、❸石１個と○石７個を混ぜ合わせ、目隠しして一列に並べ

「捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断でき」と断言をさけた微妙な言い方から、確率の値が0より大きいとき、どんなに小さい値であっても、その結果は絶対に起こらないわけではなく、起こりにくいだけだということを意識しておられることがわかる。

確率の計算で「(6/14)×(7/13)×(1/12)×(6/11)×(5/10)×(5/9)×(4/8)×(4/7)×(3/6)×(3/5) ×(2/4)×(2/3)×(1/2)×(1/1)」と、石の個数分の分数を掛け算しておられる。

14個の石を一列に列べるときの確率を計算するとき、分母と分子で、それぞれ計算する石の個数（掛け算する数字の個数）は一致している必要があります。しかし、●○❸○●○●○●○●○●○という条件の「❸」のように数字が「１」になるものは、計算式上は「 $×1$ 」という計算になるため省略しがちです。また、実際の計算には関数電卓や表計算ソフトを使うとしても、14個の数字の掛け算の式を入力するとなると、入力誤りがあってもおかしくありません。

計算式を石の個数分の掛け算にすることで、分母と分子の石の個数（掛け算する数字の個数）の不一致という問題は発生しなくなります。

また、1つ1つの順位が起こる確率を求めた上で計算ミスをしないように確実に計算しているんですよ、という平山氏のこだわりのようなものを感じます。

≪平山氏の記事の問題点≫(2021.12.29修正)

平山氏の記事は、AKBリクアワ2018のランキング上位に、NGTの曲がランクインすることはありえない理由として確率の値の低さをあげています。

しかし、前回までの記事で説明してきたように、NGTの曲がランキング上位にランクインすることがありえない理由として、○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるときに、特定の条件を満たす石の並べ方が起こる確率の値を用いることはできません。

平山氏の記事の確率の説明をしている部分に、確率の計算について誤解がないように、ベスト14の結果が○○○○○○⑦●●●●●●●になる確率の説明を追記すると以下のようになります。
（赤字部分が追記部分です）

NGTの曲が研究生の曲も含めてベスト14に７曲入ることを前提としても、作為性がない場合、NGTの曲が奇数順位だけに入り、研究生の曲が３位になる確率は、手触りに差のない●石６個、❸石１個と○石７個を混ぜ合わせ、目隠しして一列に並べ、●○❸○●○●○●○●○●○となる確率で、(6/14)×(7/13)×(1/12)×(6/11)×(5/10)×(5/9)×(4/8)×(4/7)×(3/6)×(3/5) ×(2/4)×(2/3)×(1/2)×(1/1)＝3,628,800÷87,178,291,200=0.0000416250416となり、２万４千回に１回も起こらない珍事である。
したがって、14位以内の曲はすべて正当な得票で集計して14位以内だったと仮定しても、捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断できる。
また、NGT以外の曲が研究生の曲も含めてベスト14に７曲入ることを前提としたときに、１位～6位がNGT以外の曲で7位がAKB48 16期研究生の「抱きつこうか？」、8位～14位がNGTの曲になるのは実人気を考慮すると妥当な結果と思われる。
⑦石がAKB48 16期研究生の「抱きつこうか？」を表しているとすると、その確率は、手触りに差のない○石６個、⑦石１個と●石７個を混ぜ合わせ、目隠しして一列に並べ、○○○○○○⑦●●●●●●●となる確率で、(6/14)×(5/13)×(4/12)×(3/11)×(2/10)×(1/9)×(1/8)×(7/7)×(6/6)×(5/5) ×(4/4)×(3/3)×(2/2)×(1/1)＝3,628,800÷87,178,291,200=0.0000416250416となり、２万４千回に１回も起こらない珍事である。
したがって、14位以内の曲はすべて正当な得票で集計して14位以内だったと仮定しても、１位～6位がNGT以外の曲で7位がAKB48 16期研究生の「抱きつこうか？」、8位～14位がNGTの曲という順位が捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断できる。
そのうえ、実人気を考慮すれば、正当な投票で研究生の曲以外のNGTの曲がベスト14に6曲以上入る可能性はほぼ皆無であり、

確率に関する説明の部分で何を言いたいのか意味不明になっていしまいます。記事を読んだ人が混乱するだけなので、確率に関する説明は削除したほうがいいと思います。

平山氏の記事から確率に関する記述を削除すると、「NGTの曲が研究生の曲も含めてベスト14に７曲入ることを前提としても」～「捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断でき、そのうえ、」までが削除されることになります。

その結果、ランキング順位は、全国的な知名度の高さやCDの売上枚数の多さに近いものになるはずだと考えていることが読み取れる記述だけが残ります。

1人のファンが何票でも投票できるAKBリクアワ2018のランキング順位が、全国的な知名度の高さやCDの売上枚数の多さに近いものになる理由については何も書かれていないため、理由をのべずに、平山氏がこう考えているという意見だけが書かれた記事になってしまいます。

しかし、確率についての説明が書かないほうがいいぐらい無意味なものになっているからこそ、1人のファンが何票でも投票できて、自分が応援しているグループにトップになってもらいたいと思っているAKBグループの各グループのファンどうしの競争という一面もあるAKBリクアワ2018のランキング順位が、なぜ全国的な知名度の高さやCDの売上枚数の多さに近いものになるのか、その理由について書いておくべきだと思います。

その点に関する筆者の意見は、以下の記事に書いた通りです。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(6) - 丿乀庵【へつぽつあん】

平山氏の記事に対する疑問点の確認は、今回で終了です。

次回以降、場合の数と確率だけでなく、いろいろな計算をして、AKBリクアワ2018の結果について筆者なりの考察をしてみたいと思います。

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(22)

2021-12-12

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(20)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪平山氏の記事の疑問点（８）≫

平山氏の記事の冒頭に以下のように書かれていますが、ベスト10まで検討していたものを、ベスト14までに拡充したのは何故なのでしょうか。

論文「NGT48問題・第四者による検討結果報告」110ページ【ⅲ】2018年リクアワにおけるNGTの「大躍進」冒頭から112ページ5行目「あると断定してよいだろう。」までを以下のように更新します（ベスト10まで検討していたものを、ベスト14までに拡充しました）。

≪ベスト10、ベスト12、ベスト14と確率を調べる対象範囲が変わったときの確率≫

前回説明したように、同じような条件でも、ベスト10・ベスト12・ベスト14を対象にしたとき、それぞれ起こる確率は異なります。

ベスト10で●○❸○●○●○●○という条件を満たす確率より、ベスト14で●○❸○●○●○●○●○●○というという条件を満たす確率のほうが低くなりました。

ある結果が起こる確率は、根元事象が起こる確率の倍数なので、根元事象が起こる確率が低くなると、ある結果が起こる確率も低くなってもおかしくありません。（ある結果が起こる確率が高くなることもあります）

ここで、冒頭の疑問について考えてみます。ベスト10まで検討していたものを、ベスト14までに拡充したのは何故なのか。平山氏はベスト10で●○❸○●○●○●○になる確率より、ベスト14で●○❸○●○●○●○●○●○になる確率が低くなることが事前にわかっていたのではないか。NGTの曲が上位にランクインする可能性がいかに低いかを示すために、ベスト14までに拡充したのではないか。そう考えることもできそうです。

しかし、平山氏が妥当な順位だと考えているはずの順位になる確率も同様に低くなっていることにも注意が必要だと思います。たとえば、ベスト10で○○○○⑦●●●●●になる確率よりも、ベスト14で○○○○○○⑦●●●●●●●になる確率のほうが低くなります。

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(21) - 丿乀庵【へつぽつあん】

2021-12-12

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(19)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪閾値(しきい値)の影響を受ける確率≫

今回は、AKBリクアワ2018のランキング順位で、特定の条件を満たす結果が起こる確率を分析するときに、現実的にありえいないと判断する閾値(しきい値)を決めたら、調べたい結果以外の結果が起こる確率に対してどう影響するのかについて考えてみます。

≪ベスト14の根元事象が起こる確率≫

何かをした結果、起こる可能性があるひとつひとつの結果のことを根元事象といいます。場合の数を使う確率では、根元事象が起こる確率は、同様に確からしいことが前提になっています。根元事象が起こる確率はどの根元事象でも同じで、以下の式で計算できます。

$根元事象が起こる確率=\frac{1}{全ての場合の数}$

ある結果が起こる確率は、全ての場合の数に対する、求める場合の数の割合であると同時に、ある結果が起こるための条件を満たす根元事象の確率の合計値にもなっています。それは、確率を求める計算式が以な下のように変形できることからもわかります。

$ある結果が起こる確率=\frac{求める場合の数}{全ての場合の数}$

$=\frac{1}{全ての場合の数}×求める場合の数$

$=根元事象が起こる確率×求める場合の数$

ある結果が起こる確率は、根元事象が起こる確率の倍数になります（1倍した倍数も含む）。したがって、ある結果が起こる確率が根元事象の起こる確率より小さくなることはありません。

根元事象が起こる確率より大きい値（根元事象の2倍以上の値）が、現実的に有りえないことを判断する閾値（しきい値）になると、根元事象の起こる確率の値は、現実的にはありえない値と判断されてしまいます。

ランキング結果のベスト14の根元事象が起こる確率は、 $\frac{1}{14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}$ $=\frac{1}{87,178,291,200}$ $=0.0000000000114$ で、 $\frac{1}{24,000}=0.0000416$ より小さい値になります。

根元事象が起こる確率の値を現実的にはありえない値と判断するということは、ベスト14でどういう結果が出ても、すべて捏造順位であることがほぼ確実ということになります。

それでは、根元事象の起こる確率の値そのものを閾値（しきい値）にしたらどうなるでしょうか。ある出来事の起こる確率が、根元事象の起こる確率より小さくなることは有りえないので、閾値（しきい値）としての役目を果たしていないことになります。

≪ベスト14で、●○❸○●○●○●○●○●○に類似した出来事が起こる確率（１）≫

起こる確率の値が $\frac{1}{24,000}$ より小さい結果は、現実的にはありえないと判断するのであれば、起こる確率が $\frac{1}{24,024}$ になる結果は全て現実的にはありえない結果だと判断しなければいけないはずです。

以下の記事で説明したように、14個の石を一列に並べるときに起こる可能性がある全ての結果は、起こる確率が●○❸○●○●○●○●○●○という条件と同じ $\frac{1}{24,024}$ になる結果が集まってできていると考えることができます。

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(15) - 丿乀庵【へつぽつあん】
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(16) - 丿乀庵【へつぽつあん】
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(17) - 丿乀庵【へつぽつあん】

起こる確率が $\frac{1}{24,024}$ になる結果は全て現実的にはありえない結果だと判断すると、ベスト14でどういう結果が出ても、すべて捏造順位であることがほぼ確実ということになってしまいます。

≪ベスト14で、●○❸○●○●○●○●○●○に類似した出来事が起こる確率（２）≫

14個の石を一列に並べるときに、以下の条件を満たす確率はどちらも同じ $\frac{1}{24,024}$ です。

[条件19-1]○○○○○○⑦●●●●●●●
[条件19-2]●○❸○●○●○●○●○●○

平山氏が考える妥当なランキング順位から類推すると、[条件19-1]は妥当な順位だけど、[条件19-2]はあり得ない順位ということになります。

しかし、起こる確率が $\frac{1}{24,000}$ より小さい結果は、現実的にはありえないと判断するのであれば、[条件19-1]と[条件19-2]を満たす結果は、どちらも捏造順位であることがほぼ確実ということになります。

≪ベスト10、ベスト12、ベスト14と確率を調べる対象範囲が変わったときの確率≫

$根元事象が起こる確率=\frac{1}{全ての場合の数}$ なので、全ての場合の数が、10、100、1,000と大きくなると、根元事象が起こる確率は $\frac{1}{10}、\frac{1}{100}、\frac{1}{1,000}$ と小さくなります。

同じような条件の結果でも、全ての場合の数が変わると、その結果が起こる確率は変わります。確率の値は根元事象の起こる確率の倍数で、根元事象の起こる確率は、全ての場合の数をもとに計算するからです。

たとえば、以下の1.～3.の条件は、同じような条件で、一列に並べる石の個数だけが違います。石の個数が変わるので全ての場合の数も変わります。

1～5の番号がついた○石5個、1～5の番号がついた●石5個、合計10個の石を、一列に並べるときに、●○❸○●○●○●○という条件を満たす確率。 $\ \\$
1～6の番号がついた○石6個、1～6の番号がついた●石6個、合計12個の石を、一列に並べるときに、●○❸○●○●○●○●○になる確率。 $\ \\$
1～7の番号がついた○石7個、1～7の番号がついた●石7個、合計14個の石を、一列に並べるときに、並び順が●○❸○●○●○●○●○●○になる確率。

1.の確率は、0.000793です。計算式は以下の通りです。

$\frac{ \color{green}{4}× 5× \color{red}{1}× 4× \color{green}{3}× 3× \color{green}{2}× 2× \color{green}{1}× 1 }{10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}=0.000793$

2.の確率は、0.000180です。計算式は以下の通りです。

$\frac{ \color{green}{5}× 6× \color{red}{1}× 5× \color{green}{4}× 4× \color{green}{3}× 3× \color{green}{2}× 2× \color{green}{1}× 1 }{12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}=0.000180$

3.の確率は、0.0000416です。計算式は以下の通りです。

$\frac{ \color{green}{6}× 7× \color{red}{1}× 6× \color{green}{5}× 5× \color{green}{4}× 4× \color{green}{3}× 3× \color{green}{2}× 2× \color{green}{1}× 1 } {14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}=0.0000416$

３つとも同じような条件ですが、全ての場合の数が多いほうが、確率の値が小さくなっています。

1.と2.の確率の値は $\frac{1}{24,000}=0.0000416$ よりも大きくなります。

もしも確率の値が $\frac{1}{24,000}$ より大きいとき、捏造順位ではないということになるのであれば、同じような条件の確率でも、ベスト14のときは捏造順位になるが、ベスト12、ベスト10のときは捏造順位ではない、というおかしなことになります。

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(20) - 丿乀庵【へつぽつあん】

2021-12-12

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(18)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪平山氏の記事の疑問点（７）≫

「NGTの曲が研究生の曲も含めてベスト14に７曲入ることを前提としても、作為性がない場合、NGTの曲が奇数順位だけに入り、研究生の曲が３位になる確率は、手触りに差のない●石６個、❸石１個と○石７個を混ぜ合わせ、目隠しして一列に並べ、●○❸○●○●○●○●○●○となる確率で、
(6/14)×(7/13)×(1/12)×(6/11)×(5/10)×(5/9)×(4/8)×(4/7)×(3/6)×(3/5) ×(2/4)×(2/3)×(1/2)×(1/1)＝3,628,800÷87,178,291,200=0.0000416250416となり、２万４千回に１回も起こらない珍事である。したがって、14位以内の曲はすべて正当な得票で集計して14位以内だったと仮定しても、捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断でき」と書かれているが、この考え方は正しいのか。

≪捏造順位である確率と閾値（しきい値）≫

平山氏の記事には「捏造順位である確率は約99.99％」と書かれています。

この値は、14個の石を一列に並べたときの並び順が●○❸○●○●○●○●○●○になる確率を百分率(％)にして、100から引いた残りの値だと思います。確率の値は全体を1とした割合なので100倍すると、百分率(％)の値になります。

計算式は以下のようになります。
(●○❸○●○●○●○●○●○になる確率)
$=\frac{1}{24,024}=0.0000416250416$

$0.0000416250416×100≒0.00416(\%)$
$100(\%)-0.00416(\%)≒99.99(\%)$

確率の値について考えるとき、値が0より大きいとき、どんなに小さい値であっても起こる可能性があることに注意する必要があります。起こりにくいだけで、絶対に起こらないというわけではありません。

平山氏の記事で「捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実と判断でき」と断言をさけた微妙な言い方になっているのは、ほんのわずかでも起こる可能性が有ることを意識されているからだと思います。

しかし、「珍事である」、「捏造順位である確率は約99.99％でほぼ確実」と書かれているので、起こる確率が $\frac{1}{24,024}$ になる結果になることは現実的にありえないと判断されていることも確かだと思います。

平山氏の記事に｢ $\frac{1}{24,000}$ を閾値(しきい値)とする。｣と明記されているわけではありませんが、 $\frac{1}{24,000}$ という値を、確率の値がその値より小さくなったら、現実的にあり得ないことが起こったと判断する閾値(しきい値)とみなしていると考えても問題がないと思います。

現実的にあり得ないことが起こったと判断する閾値(しきい値)を使うのであれば、以下の点に注意する必要があると思います。

なぜ、その閾値(しきい値)を選んだのか、理由を明示する必要がある。

閾値(しきい値)を決めたら、調べたい結果以外の結果が起こる確率に対してどう影響するかも考える。

平山氏の記事では、上記の二点が不十分だと思われます。

閾値（しきい値）を選んだ理由は、平山氏の記事に書かれていないので判断のしようがありません。

そこで、閾値（しきい値）を決めたら、調べたい結果以外の結果が起こる確率に対してどう影響するのか、以下の点について考えてみたいと思います。

ベスト14の根元事象が起こる確率

ベスト14で、●○❸○●○●○●○●○●○に類似した出来事が起こる確率

ベスト10、ベスト12、ベスト14と確率を調べる対象範囲が変わったときの確率

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(19) - 丿乀庵【へつぽつあん】

2021-12-12

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(17)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（６）≫

前回に引き続き、○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えてみます。

≪｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率と、全ての場合の数や確率の最大値の関係≫

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数がわかったので、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率に、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数を掛けると、全ての場合の数や確率の最大値になることを計算で確かめてみます。
計算式は以下のとおりです。

[場合の数の計算式]
(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=25,401,600×3,432$
$=87,178,291,200$
$=$ (14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数)

[確率の計算式]
(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{1}{3,432}×3,432$

$=1$
$=$ (確率の最大値)

なお、確率の計算式で用いる確率の値に約分前の値を使うと、分子の計算式が、場合の数の計算式と同じになります。分子の計算結果は、分母(全ての場合の数)と同じ87,178,291,200になるので、計算結果は(確率の最大値)になります。

(｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{25,401,600}{87,178,291,200} × 3,432$

$=\frac{25,401,600 × 3,432}{87,178,291,200}$

$=\frac{87,178,291,200}{87,178,291,200}$

$=1$
$=$ (確率の最大値)

≪●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係≫

今までにわかったことを整理すると、以下のようになります。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率は、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚がどういう順番で並んでいるかに関係なく全て同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる全ての条件について、場合の数や確率を合計すると、14個の石を一列に並べるときに起こる可能性がある全ての場合の数や確率の最大値と同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件を満たす場合の数や確率は全て同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた7つの条件を満たす場合の数や確率を合計すると、｢❶｣～｢❼｣カードに置き換える前の条件を満たす場合の数や確率と同じになる。

以上の4点から、●○❸○●○●○●○●○●○のように、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件の場合の数や確率を全て合計すると、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の最大値になることがわかります。

それはつまり、14個の石を一列に並べたときに起こる可能性がある全ての結果は、起こる確率が●○❸○●○●○●○●○●○という条件と同じ $\frac{1}{24,024}$ になる結果が集まって、できていることを意味します。

実際に計算してみると、場合の数の計算結果は14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数に、確率の計算結果は確率の最大値になります。計算式と計算結果は以下の通りです。

[場合の数の計算式]　
(●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数) $×$ (●石の個数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=3,628,800×7×3,432$
$=87,178,291,200$
$=$ (14個の石を一列に列べるときに起こる可能性がある全ての場合の数)

[確率の計算式]
(●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす確率) $×$ (●石の個数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{1}{24,024}×7×3,432$

$=\frac{24,024}{24,024}$
$=1$
$=$ (確率の最大値)

確率の計算式で用いる確率の値に約分前の値を使うと、分子の計算式が、場合の数の計算式と同じになります。分子の計算結果は、分母(全ての場合の数)と同じになるので、計算結果は(確率の最大値)になります。

(●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす確率) $×$ (●石の個数) $×$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数)
$=\frac{25,401,600}{87,178,291,200}×7×3,432$

$=\frac{87,178,291,200}{87,178,291,200}$
$=1$
$=$ (確率の最大値)

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(18) - 丿乀庵【へつぽつあん】

2021-12-11

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(16)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（５）≫

≪｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数≫

一列に並べる14個の石は、色の違いだけで区別すると○石と●石しかありません。

ということは、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる全ての条件の場合の数や確率を合計すると、14個の石を一列に並べるときの全ての場合の数や確率の最大値と同じになるはずです。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件には以下のようなものがありますが、全部でいくつあるのか計算で求めてみることにします。

[条件16-1]○○○○○○○●●●●●●●
[条件16-2]○○○○●●●●○○○●●●
[条件16-3]○●○●○●○●○●○●○●
[条件16-4]●○●○●○●○●○●○●○
[条件16-5]●●●●○○○○●●●○○○
[条件16-6]●●●●●●●○○○○○○○

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数は、以下の方法で計算することができます。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数は全て同じなので、(全ての場合の数) $÷$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の場合の数)を計算する。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率は全て同じなので、(確率の最大値) $÷$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率)を計算する。

組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の公式を使って計算する。14個あるマス目に｢●｣カードを7枚置く並べ方が ${}_{14} {C}_{7}$ 通りあって、 ${}_{14} {C}_{7}$ 通りの並べ方それぞれについて、残りの7個のマス目に｢○｣カードを7枚置く並べ方が ${}_{7} {C}_{7}$ 通りあるので、 ${}_{14} {C}_{7}×{}_{7} {C}_{7}$ を計算する。

それぞれの計算式と計算結果は以下のようになります。計算結果はいずれも、3,432になります。

[場合の数の計算結果]
(全ての場合の数) $÷$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の場合の数)
$=(14×13×12×11×10×9×8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times 7×6×5×4×3×2×1) \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \div (7×6×5×4×3×2×1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ⏩$
$⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times 7×6×5×4×3×2×1)$

$=87,178,291,200÷25,401,600$
$=3,432$

[確率の計算結果]
(確率の最大値) $÷$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす確率)
$=1÷\frac{1}{3,432}$

$=1×\frac{3,432}{1}$

$=3,432$

[組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の計算結果]
${}_{14} {C}_{7}×{}_{7} {C}_{7}$
$= \frac{14×13×12×11×10×9×8}{7×6×5×4×3×2×1} ×\frac{7×6×5×4×3×2×1}{7×6×5×4×3×2×1}$

$=\frac {14×13×12×11×10×9×8}{7×6×5×4×3×2×1}$

$=\frac{17,297,280}{5,040}$

$=17,297,280÷5,040$
$=3,432$

この計算方法で、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数を正しく求めることができるのは、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率が、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚の並び順に関係なく全て同じだからです。

もしも、条件で｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚の並び順によって場合の数や確率が違っていたら、この計算方法で｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数を正しく求めることはできません。

≪計算式の意味≫

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数の計算方法として、場合の数・確率・組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の3通りの方法を説明しました。

3つの計算式は、見た目が違うので違う計算をしているように見えますが、実は、全て(全ての場合の数) $÷$ (｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の場合の数)という同じを計算していると考えることができます。

確率の計算式で用いる確率の値の分母と分子を、約分前の値に置き換えると以下のように、場合の数の計算式と同じ式に変形できます。

$1÷\frac{25,401,600}{87,178,291,200}$

$=1×\frac{87,178,291,200}{25,401,600}$

$=\frac{87,178,291,200}{25,401,600}$

$=87,178,291,200÷25,401,600$

分母と分子の約分前の値は、それぞれ場合の数なので、場合の数の計算式と同じ式に変形できても不思議はありません。

組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の計算式は、分数の掛け算を1つの分数で行う形に変形すると、場合の数の計算式と同じ式になります。

$\frac{14×13×12×11×10×9×8}{7×6×5×4×3×2×1} ×\frac{7×6×5×4×3×2×1}{7×6×5×4×3×2×1}$

$= \frac{14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1} {7×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1}$

$=\frac{87,178,291,200}{25,401,600}$

$=87,178,291,200÷25,401,600$

組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の計算では順番が違っていても同じ組合せの並べ方はまとめて1通りとみなすため、もとになる場合の数を、1通りとしてまとめる場合の数で割り算します。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の個数をもとめる計算で、1通りとしてまとめられるのは、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数です。

○石の並べ方の組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の数と、●石の並べ方の組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の数を別々に求めて掛け算する式から、○石7個・●石7個の合計14個の石についての組合せ( ${}_{n} {C}_{r}$ )の数を一度に求めて計算する形に変形するので、場合の数の計算式と同じ式に変形できても不思議はありません。

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(17) - 丿乀庵【へつぽつあん】

2021-12-11

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(15)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（４）≫

○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、●○❸○●○●○●○●○●○という条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えてみます。

条件に出てくる記号の意味は以下の通りです。
｢○｣：NGT以外の曲（研究生の曲を含む）
｢●｣：NGTの曲（研究生の曲を含む）
｢①｣～｢⑥｣：AKB正規メンバーの曲
｢⑦｣：AKB研究生の曲
｢❶｣～｢❷｣・｢❹｣～｢❼｣：NGT正規メンバーの曲
｢❸｣：NGT研究生の曲

≪1～7位が｢○｣で7位が｢⑦｣／1～7位が｢●｣で7位が｢❸｣≫

○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に列べるときに特定の条件を満たす確率を求めるときに、条件で｢❶｣～｢❼｣のいずれか1枚のカードが指定されたとき、場合の数を計算するときの石の個数はいずれも1個です。

ということは、以下の条件を満たす確率の値はいずれも同じになります。

[条件15-1]●○❶○●○●○●○●○●○
[条件15-2]●○❷○●○●○●○●○●○
[条件15-3]●○❸○●○●○●○●○●○
[条件15-4]●○❹○●○●○●○●○●○
[条件15-5]●○❺○●○●○●○●○●○
[条件15-6]●○❻○●○●○●○●○●○
[条件15-7]●○❼○●○●○●○●○●○

また、●石は、❶❷❸❹❺❻❼の7個だけなので、上記の7つの条件を満たす場合の数や確率を合計すると、以下の[条件15-8]の場合の数や確率と同じになります。同じ順位の石だけを置き換えているので、同じ結果が複数の条件で重複して数えられることはありません。

[条件15-8]●○●○●○●○●○●○●○

[条件15-1]～[条件15-7]を満たす場合の数と確率は全て同じなので、7倍すれば（7回足せば）[条件15-8]の場合の数や確率と同じになるはすです。

実際に計算してみます。まず、場合の数について考えてみます。

掛け算は交換法則が成立するため、[条件15-1]・[条件15-8]の記号の並び順を変えても、場合の数は同じなので、同じ記号ごとに並べかえると以下のようになります。

[条件15-1]❶●●●●●●○○○○○○○
[条件15-8]●●●●●●●○○○○○○○

並べかえた条件の計算式を書き出すと以下のようになります。

[条件15-1]
$\color{red}{1}×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1$

[条件15-8]
$\color{red}{7}×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1$

2つの式を比べてみると、1番目の数字だけが違います。[条件15-1]が1で、[条件15-8]が7なので
[条件15-1]の式の計算結果を7倍すると、[条件15-8]の計算結果と同じになることがわかります。

次に、確率の値について考えてみます。

[条件15-1]と[条件15-8]の確率をもとめる計算式で、分子の計算式を、上記で並べかえ計算式にして、確率を求める計算式を比べてみると、分母の計算式（全て場合の数）は同じで、分子の計算式の計算結果（求める場合の数）が7倍になるので、確率の値も7倍になることがわかります。

[条件15-1]
$\frac{ \color{red}{1}×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1}{ 14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}$

[条件15-8]
$\frac{ \color{red}{7}×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1}{ 14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}$

確率の計算結果は以下の通りです。
[条件15-1]
$\frac {\color{red}{1} ×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1}{14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}$

$=\frac{3,628,800}{87,178,291,200}$

$=\frac{1}{24,024}$

[条件15-8]
$\frac{ \color{red}{7}×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1} {14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}$

$=\frac{25,401,600}{87,178,291,200}$

$=\frac{1}{3,432}$

[条件15-8]の確率の値を、[条件15-1]の確率の値で割ると7倍になっていることがわかります。

$\frac{1}{3,432}÷\frac{1}{24,024}$

$=\frac{1}{3,432}×\frac{24,024}{1}$

$=\frac{24,024}{3,432}$

$=24,024÷3,432$
$=7$

≪条件の意味の変更≫(2021.12.13追記)

これ以降、[条件15-9]のような条件を、説明の都合上、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件ということにします。

[条件15-9] ○●○❸○●○●○●○●○●

同じ条件でも、確率を調べる目的によって、意味合いを変更することがあります。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件の例として、以下のような条件があります。

[条件15-10] ●❸●●●●●○○○○○○○
[条件15-11] ○○○○○○○●❸●●●●●
[条件15-12] ○○○○●❸●●○○○●●●
[条件15-13] ●❸●●○○○○●●●○○○
[条件15-14] ●○❸○●○●○●○●○●○

これ以降、○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に並べるとき、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❸」カードに置き換えた条件を満たす場合の数や確率と、起こる可能性がある全ての場合の数や確率の関係について考えていきます。

≪類似条件の場合の数と確率≫(2021.12.14修正)

○石7個・●石7個の合計14個の石を一列に列べるとき、｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件を満たす場合の数や確率の値は、条件で｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚がどういう順番で並んでいるかに関係なく、全て同じになるので、以下のことがいえることになります。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1枚に置き換えた条件を満たす場合の数や確率は全て同じになる。

｢●｣カード7枚・｢○｣カード7枚からなる条件の｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1枚に置き換えた7つの条件を満たす場合の数や確率を合計した値は全て同じになる。

たとえば、以下の条件はいずれも、｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた条件を満たす場合の数や確率が同じになります。また、｢●｣カードの2つ目を｢❶｣～｢❼｣カードのいずれか1つに置き換えた7つの条件の場合の数や確率の合計値も同じになります。

[条件15-15] ●●●●●●●○○○○○○○
[条件15-16] ○○○○○○○●●●●●●●
[条件15-17] ○○○○●●●●○○○●●●
[条件15-18] ●●●●○○○○●●●○○○
[条件15-19] ○●○●○●○●○●○●○●
[条件15-20] ●○●○●○●○●○●○●○

以下にいくつか例を示します。

以下の[条件15-21]～[条件15-27]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-28]の場合の数や確率と同じになります。

[条件15-21] ●❶●●●●●○○○○○○○
[条件15-22] ●❷●●●●●○○○○○○○
[条件15-23] ●❸●●●●●○○○○○○○
[条件15-24] ●❹●●●●●○○○○○○○
[条件15-25] ●❺●●●●●○○○○○○○
[条件15-26] ●❻●●●●●○○○○○○○
[条件15-27] ●❼●●●●●○○○○○○○

[条件15-28] ●●●●●●●○○○○○○○

以下の[条件15-29]～[条件15-35]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-36]の場合の数や確率と同じになります。

[条件15-29] ○○○○○○○●❶●●●●●
[条件15-30] ○○○○○○○●❷●●●●●
[条件15-31] ○○○○○○○●❸●●●●●
[条件15-32] ○○○○○○○●❹●●●●●
[条件15-33] ○○○○○○○●❺●●●●●
[条件15-34] ○○○○○○○●❻●●●●●
[条件15-35] ○○○○○○○●❼●●●●●

[条件15-36] ○○○○○○○●●●●●●●

以下の[条件15-37]～[条件15-43]を満たす場合の数や確率を合計すると、[条件15-44]の場合の数や確率と同じになります。

[条件15-37] ○○○○●❶●●○○○●●●
[条件15-38] ○○○○●❷●●○○○●●●
[条件15-39] ○○○○●❸●●○○○●●●
[条件15-40] ○○○○●❹●●○○○●●●
[条件15-41] ○○○○●❺●●○○○●●●
[条件15-42] ○○○○●❻●●○○○●●●
[条件15-43] ○○○○●❼●●○○○●●●

[条件15-44] ○○○○●●●●○○○●●●

以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(16) - 丿乀庵【へつぽつあん】