丿乀庵【へつぽつあん】

へっぽこプログラマーの覚え書き

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(13)

AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率

≪○石の個数＝●石の個数のときの確率の計算（２）≫

今回は、すべての順位に｢○｣カード・｢●｣カードのいずれかが指定されている条件について、1枚の｢○｣カードを、番号もあわせて指定する｢⑦｣カードにおきかえた条件と、1枚の｢●｣カードを、番号もあわせて指定する｢❸｣カードにおきかえた条件を満たす確率を求めて比較してみます。


≪1～6位が｢○｣で、7位が｢⑦｣／1～6位が｢●｣で、7位が｢❸｣≫

ランキング順位が以下の結果になる確率はどちも同じです。

[条件13-1] ○○○○○○⑦●●●●●●●
[条件13-2] ●●●●●●❸○○○○○○○

[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

\frac{\color{green}{6}}{14} \times \frac{\color{green}{5}}{13} \times \frac{\color{green}{4}}{12} \times \frac{\color{green}{3}}{11} \times \frac{\color{green}{2}}{10} \times \frac{\color{green}{1}}{9} \times \frac{\color{red}{1}}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩
⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{7}{7} \times \frac{6}{6} \times \frac{5}{5} \times \frac{4}{4} \times \frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} \\\


≪3位を除く奇数位が｢○｣で、3位が｢⑦｣／3位を除く奇数位が｢●｣で、3位が｢❸｣≫

ランキング順位が以下の結果になる確率はどちも同じです。

[条件13-3] ○●⑦●○●○●○●○●○●
[条件13-4] ●○❸○●○●○●○●○●○

[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

\frac{\color{green}{6}}{14} \times \frac{7}{13} \times \frac{\color{red}{1}}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{\color{green}{5}}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{\color{green}{4}}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩
⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{4}{7} \times \frac{\color{green}{3}}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{\color{green}{2}}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{\color{green}{1}}{2} \times \frac{1}{1} \\\


≪5～8位・12～13位が｢○｣で、14位が｢⑦｣／5～8位・12～14位が｢●｣で、14位が｢❸｣≫

ランキング順位が以下の結果になる確率はどちも同じです。

[条件13-5] ●●●●○○○○●●●○○⑦
[条件13-6] ○○○○●●●●○○○●●❸


[計算式]
どちらも同じ以下の式になります。

\frac{7}{14} \times \frac{6}{13} \times \frac{5}{12} \times \frac{4}{11} \times \frac{\color{green}{6}}{10} \times \frac{\color{green}{5}}{9} \times \frac{\color{green}{4}}{8} \ \ \ \ \ \ ⏩
⏩\ \ \ \ \ \ \ \ \times \frac{\color{green}{3}}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{\color{green}{2}}{3} \times \frac{\color{green}{1}}{2} \times \frac{\color{red}{1}}{1} \\\


≪[条件13-1]～[条件13-6]の計算式と計算結果≫

[条件13-1]～[条件13-6]の計算式は、分数の計算を一つの分数でまとめて行う形に変形して、分子の掛け算の順番を入れ替えると同じ式になります。掛け算は交換法則が成立するので、掛ける順番を入れ替えても計算結果は変わりません。

計算式と計算結果は以下の通りです。

\frac{ \color{red}{1} \times \color{green}{6} \times \color{green}{5} \times \color{green}{4} \times \color{green}{3} \times \color{green}{2} \times \color{green}{1} \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }{ 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }\\\
= \frac{3,628,800}{87,178,291,200}\\\
= \frac{1}{24,024}
≒ 0.0000416 \cdots ≒ 0.00416\ \%

掛け算は交換法則が成立するので、分子の計算で掛ける順番を入れ替えても計算結果は変わらないということは、ベスト14で、「⑦」1個・「○」6個・「●」7個からなる条件になる確率と、「❸」1個・「●」6個・「○」7個からなる条件になる確率は、それぞれ条件を示す記号がどんな順番で並んでいるかに関係なく、全て同じになることを意味をしています。

下図のように⑦石・○石・●石を入れる一列に並んだ各順位の小箱の位置はそのままで、⑦石を入れる小箱・○石を入れる小箱・●石を入れる小箱が上下にずれた状態で置かれていると考えると、⑦石・○石・●石がどんな順番で並んでいたとしとても、 \color{red}{1} \times \color{green}{6} \times \color{green}{5} \times \color{green}{4} \times \color{green}{3} \times \color{green}{2} \times \color{green}{1} \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \ 通りになることがわかりやすいと思います。

[条件1-1]
＿＿＿＿＿＿⑦＿＿＿＿＿＿
○○○○○○＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿●●●●●●●

[条件1-3]
＿＿＿⑦＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿○＿＿＿○＿○＿○＿○＿○
●＿●＿●＿●＿●＿●＿●＿

[条件1-5]
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑦
＿＿＿＿○○○○＿＿＿○○＿
●●●●＿＿＿＿●●●＿＿＿


以下の記事に続きます。
AKBリクアワ2018の結果と場合の数と確率(14)