分数の逆数と比例式（２４） - 丿乀庵【へつぽつあん】

前回まで比について考えたことを、以下の２つの証明にまとめる。

【証明［３］： $a:b = c:d\$ のとき、外項の積 $(a×d)$ と内項の積 $(b×c)$ は等しい】

$a:b = c:d\$ のとき、
比の値は $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\$ になる。

$(a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\ は、0\ より大きい整数)$

【証明［１］】の証明結果から、
$\frac{a}{b}\ =\ \frac{c}{d}\$ のとき、 $\frac{a}{b} × \frac{d}{c} = 1$

計算結果が 1 になる分数の分母の数と分子の数は等しいので、
$ad\ =\ bc$

$ad\ =\$ 外項の積、 $bc\ =\$ 内項の積、なので、 $a:b = c:d\$ のとき、外項の積 $(a×d)$ と内項の積 $(b×c)$ は等しい。◼️

【証明［４］：比例式 $a:b = c:d\$ において、 $a:b\$ と $\ c:d\$ の一番小さい整数の比が同じ全ての比で、外項の積 $(a×d)$ と内項の積 $(b×c)$ は等しい】

【証明［２］】の証明結果から、
$\frac{j}{k}\$ が任意の既約分数のとき、 $\frac{j}{k}\$ を倍分した全ての分数の逆数は、 $\frac{j}{k}\$ の分母と分子を分子入れ替えた分数 $\frac{k}{j}\$ を倍分した全ての分数になる。

これは、もとの分数と既約分数が同じ全ての分数が、分数の分母と分子を入れ替えると、もとの分数の逆数になることを意味する。

比例式 $\ a:b = c:d\$ において、 $a:b\$ と $\ c:d\$ の比の値の既約分数が同じになるのは、 $a:b\$ と $\ c:d\$ の一番小さい整数の比が同じときである。

つまり、比例式 $\ a:b = c:d\$ において、 $a:b\$ と一番小さい整数の比が同じ比は全て、外項の積と内項の積が等しくなる。

比例式 $\ a:b = c:d\$ のとき、二つの比の値は同じになるので、一番小さい整数の比も同じになる。つまり、比例式 $a:b = c:d\$ のとき外項の積 $(a×d)$ と内項の積 $(b×c)$ は必ず等しくなる。◼️