分数の逆数と比例式（１５） - 丿乀庵【へつぽつあん】

前回まで分数の逆数について考えたことを、以下の２つの証明にまとめる。

【証明［１］： $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\$ のとき、 $\frac{c}{d}\$ の分母・分子を入れ替えた分数は、 $\ \frac{a}{b}\$ の逆数になる。】

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\ のとき$

$\frac{a}{b}\ と \frac{c}{d}\ の既約分数は同じになるので$
$既約分数\ ,\ \frac{a}{b}\ ,\ \frac{c}{d}\ を以下のように定義する。$

$\frac{a}{b}\ ,\ \frac{c}{d}\ の既約分数 =\frac{j}{k}$

$\frac{a}{b} = \frac{jm}{km}\ \ …(既約分数を\ m\ で倍分した値)$

$\frac{c}{d} = \frac{jn}{kn}\ \ …(既約分数を\ n\ で倍分した値)$

$(a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\ ,\ j\ ,\ k\ ,\ m\ ,\ n\ は、0\ より大きい整数)$

$…\ 上記の定義で\ \frac{a}{b} × \frac{d}{c}を計算する。$
$…\ \frac{d}{c}\ = \ \frac{c}{d}\ の分母・分子を入れ替えた分数$

$\frac{a}{b} × \frac{d}{c}$

$=\frac{jm}{km} × \frac{kn}{jn} = \frac{jmkn}{kmjn} = \frac{jkmn}{jkmn}$
$= 1$

$\frac{a}{b} × \frac{d}{c} = 1\$ なので、 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\$ のとき、 $\frac{c}{d}\$ の分母・分子を入れ替えた分数は $\ \frac{a}{b}\$ の逆数になる。■

【証明［２］： $\frac{j}{k}\$ が任意の既約分数のとき、 $\frac{j}{k}\$ を倍分した全ての分数の逆数は、 $\frac{j}{k}\$ の分母と分子を分子入れ替えた分数 $\frac{k}{j}\$ を倍分した全ての分数になる。】

任意の既約分数 $\frac{j}{k}\$ を倍分した可約分数を以下のように定義する。

$\frac{a}{b}=\frac{jm}{km} …（既約分数を\ m\ で倍分）$

$\frac{c}{d}=\frac{jn}{kn} …（既約分数を\ n\ で倍分）$

$(j\ ,\ k\ ,\ m\ ,\ n は、 0 より大きい整数)$

上記の定義で、 $\frac{a}{b}\ ,\ \frac{c}{d}\$ を計算すると

$\frac{a}{b}\ =\ \frac{jm}{km\ } =\ \frac{j}{k} × \frac{m}{m} =\ \frac{j}{k} × 1 =\ \frac{j}{k}$

$\frac{c}{d} \ =\ \frac{jn}{kn} \ =\ \frac{j}{k} × \frac{n}{n} \ =\ \frac{j}{k} × 1 \ =\ \frac{j}{k}$

となるので、 $\frac{c}{d} \ = \ \frac{c}{d}\$ となる。

$m\ , n$ がどのような数の組み合わせであっても、 $\frac{a}{b}\$ と $\ \frac{c}{d}\$ の計算結果は同じになる。つまり、既約分数 $\ \frac{j}{k}\$ を倍分した全ての分数は、計算結果が同じになる。 $\ ……①$

【証明［１］】の証明結果から、
$\frac{a}{b}\ =\ \frac{c}{d}のとき、 \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = 1\ ……②$

①より、②の計算式で $\ \frac{a}{b}\$ と $\ \frac{d}{c}\$ を、それぞれ以下の分数に置き換えても計算結果は 1 で変わらない。

・ $\ \frac{a}{b}\ →\ \frac{a}{b}$ と既約分数が同じ別の分数 $\ \frac{a'}{b'}$

・ $\ \frac{d}{c}\ →\ \frac{d}{c}$ と既約分数が同じ別の分数 $\ \frac{d'}{c'}$

したがって、 $\frac{j}{k}\$ が任意の既約分数のとき、 $\frac{j}{k}\$ を倍分した全ての分数の逆数は、 $\frac{j}{k}\$ の分母と分子を分子入れ替えた分数 $\frac{k}{j}\$ を倍分した全ての分数になる。■