分数の逆数と比例式（３３） - 丿乀庵【へつぽつあん】

今回は、既約分数の計算結果が異なる理由で説明した判定手順について詳しく考える。

$n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\$ の時の判定手順は以下のようになる。

$a・b\ が\ 0\$ より大きい整数、 $n\ が\ 0\$ より大きい任意の整数のときに以下の集合を求める。

$A = \{\frac{a}{b}|\ a \gt 0\ ,\ b \gt 0 \}$

$集合\ A\$ は、分母と分子が両方とも、0より大きい整数になる全ての分数を表す。

● $\ n=1\$ のとき

① $集合\ A\$ から以下の三つの集合を求める。

$B = \{\frac{a}{b}|\ a \gt 1\ ,\ b=1 \}$

$C = \{\frac{a}{b}|\ a=b=1 \}$

$D = \{\frac{a}{b}|\ a=1\ ,\ b \gt 1 \}$

$集合B\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より大きくなる。
$集合B = \frac{2}{1}=2\ ,\ \frac{3}{1}=3\ ,\ \frac{4}{1}=4\ ,\ …$

$集合C\$ の分数の計算結果は、 $\ 1\$ になる。
$集合C = \frac{1}{1}$

$集合\ D\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より小さくなる。
$集合D = \frac{1}{2}=0.5\ ,\ \frac{1}{3}=0.333…\ ,\ \frac{1}{4}=0.25\ ,\ …$

②集合 $\ B・C・D\$ から、それぞれ、 $集合\ A\$ で可約分数として判定済みの全ての分数を取り除いた集合を、集合 $\ E・F・G\$ とする。

$n=1\$ のとき、判定済みの分数が存在しないため取り除く分数は存在しない。

$集合E = \frac{2}{1}=2\ ,\ \frac{3}{1}=3\ ,\ \frac{4}{1}=4\ ,\ …$

$集合F = \frac{1}{1}=1$

$集合G = \frac{1}{2}=0.5\ ,\ \frac{1}{3}=0.333…\ ,\ \frac{1}{4}=0.25\ ,\ …$

③ $集合A$ にある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を既約分数として判定済みにする。

$n=1\$ のとき、分母・分子のどちらかが $\ 1\$ で、これ以上約分できないため、集合 $\ E・F・G\$ の分数は、全て既約分数になる。

分母・分子のどちらかが $\ 1\$ の既約分数と計算結果が同じになる可約分数は $\ n=2\ ,\ 3\ ,\ 4\ , …\$ の判定手順②で取り除かれる。
　　
④集合Aにある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を倍分した、全ての分数を可約分数として判定済みにする。

判定済みにする可約分数

$\frac{4}{2}=2\ ,\ \frac{6}{2}=3\ ,\ \frac{8}{2}=4\ ,\ …$

$\frac{6}{3}=2\ ,\ \frac{9}{3}=3\ ,\ \frac{12}{3}=4\ ,\ …$

$\frac{8}{4}=2\ ,\ \frac{12}{4}=3\ ,\ \frac{16}{4}=4\ ,\ …$
　　　：

$\frac{2}{2}=1\ ,\ \frac{3}{3}=1\ ,\ \frac{4}{4}=1\ ,\ …$

$\frac{2}{4}=0.5\ ,\ \frac{2}{6}=0.333…\ ,\ \frac{2}{8}=0.25\ ,\ …$

$\frac{3}{6}=0.5\ ,\ \frac{3}{9}=0.333…\ ,\ \frac{3}{12}=0.25\ ,\ …$

$\frac{4}{8}=0.5\ ,\ \frac{4}{12}=0.333…\ ,\ \frac{4}{16}=0.25\ ,\ …$
　　　：

● $\ n=2\$ のとき

① $集合\ A\$ から以下の三つの集合を求める。

$B = \{\frac{a}{b}|\ a \gt 2\ ,\ b=2 \}$

$C = \{\frac{a}{b}|\ a=b=2 \}$

$D = \{\frac{a}{b}|\ a=2\ ,\ b \gt 2 \}$

$集合B\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より大きくなる。
$集合B = \frac{3}{2}=1.5\ ,\ \frac{4}{2}=2\ ,\ \frac{5}{2}=2.5\ ,\ …$

$集合C\$ の分数の計算結果は、 $\ 1\$ になる。
$集合C = \frac{2}{2}=1$

$集合\ D\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より小さくなる。
$集合D = \frac{2}{3}=0.666…\ ,\ \frac{2}{4}=0.5…\ ,\ \frac{2}{5}=0.4\ ,\ …$

②集合 $\ B・C・D\$ から、それぞれ、 $n=1\$ のときに可約分数として判定済みの全ての分数を取り除いた集合を、集合 $\ E・F・G\$ とする。

$集合E = \frac{3}{2}=1.5\ ,\ \frac{5}{2}=2.5\ ,\ \frac{7}{2}=3.5\ ,\ …$

$集合F = \{\}\ \ \$ (対象となる分数は存在しない)

$集合G = \frac{2}{3}=0.666…\ ,\ \frac{2}{5}=0.4\ ,\ \frac{2}{7}=0.285…\ ,\ …$

　
③ $集合A$ にある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を既約分数として判定済みにする。

分母・分子のどちらかが $\ 2\$ より小さい既約分数と計算結果が同じになる可約分数は全て取り除かれているため、集合 $\ E・F・G\$ の分数は、全て既約分数になる。

$n=1\ ,\ 2\$ で判定済みの既約分数は全て計算結果が異なる。

分母・分子のどちらかが $\ 2\$ の既約分数と計算結果が同じになる可約分数は $\ n=3\ ,\ 4\ ,\ 5\ , …\$ の判定手順②で取り除かれる。

　　
④ $集合A$ にある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を倍分した、全ての分数を可約分数として判定済みにする。

判定済みにする可約分数（既に判定済みになっている場合もある）

$\frac{6}{4}=1.5\ ,\ \frac{10}{4}=2.5\ ,\ \frac{14}{4}=3.5\ ,\ …$

$\frac{9}{6}=1.5\ ,\ \frac{15}{6}=2.5\ ,\ \frac{21}{6}=3.5\ ,\ …$

$\frac{12}{8}=1.5\ ,\ \frac{20}{8}=2.5\ ,\ \frac{28}{8}=3.5\ ,\ …$
　　　：

$\frac{4}{6}=0.666…\ ,\ \frac{4}{10}=0.4\ ,\ \frac{4}{14}=0.285…\ ,\ …$

$\frac{6}{9}=0.666…\ ,\ \frac{6}{15}=0.4\ ,\ \frac{6}{21}=0.285…\ ,\ …$

$\frac{8}{12}=0.666…\ ,\ \frac{8}{20}=0.4\ ,\ \frac{8}{28}=0.285…\ ,\ …$
　　　：

● $\ n=3\$ のとき

① $集合\ A\$ から以下の三つの集合を求める。

$B = \{\frac{a}{b}|\ a \gt 3\ ,\ b=3 \}$

$C = \{\frac{a}{b}|\ a=b=3 \}$

$D = \{\frac{a}{b}|\ a=3\ ,\ b \gt 3 \}$

$集合B\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より大きくなる。
$集合B = \frac{4}{3}=1.333…\ ,\ \frac{5}{3}=1.666…\ ,\ \frac{6}{3}=2\ ,\ …$

$集合C\$ の分数の計算結果は、 $\ 1\$ になる。
$集合C = \frac{3}{3}=1$

$集合\ D\$ の分数の計算結果は、全て異なる値になって、 $\ 1\$ より小さくなる。
$集合D = \frac{3}{4}=0.75\ ,\ \frac{3}{5}=0.6\ ,\ \frac{3}{6}=0.5\ ,\ …$

②集合 $\ B・C・D\$ から、それぞれ、 $n=1\ ,\ 2\$ のときに可約分数として判定済みの全ての分数を取り除いた集合を、集合 $\ E・F・G\$ とする。

$集合E = \frac{4}{3}=1.333…\ ,\ \frac{5}{3}=1.666…\ ,\ \frac{7}{3}=2.333…\ ,\ …$

$集合F = \{\}\ \ \$ (対象となる分数は存在しない)

$集合G = \frac{3}{4}=0.75\ ,\ \frac{3}{5}=0.6\ ,\ \frac{3}{7}=0.428…\ ,\ …$

　
③ $集合A$ にある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を既約分数として判定済みにする。

分母・分子のどちらかが $\ 3\$ より小さい既約分数と計算結果が同じになる可約分数は全て取り除かれているため、集合 $\ E・F・G\$ の分数は、全て既約分数になる。

$n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\$ で判定済みの既約分数は全て計算結果が異なる。

分母・分子のどちらかが $\ 3\$ の既約分数と計算結果が同じになる可約分数は $\ n=4\ ,\ 5\ ,\ 6\ , …\$ の判定手順②で取り除かれる。

　　
④ $集合A$ にある、集合 $\ E・F・G\$ の分数を倍分した、全ての分数を可約分数として判定済みにする。

判定済みにする可約分数（既に判定済みになっている場合もある）

$\frac{8}{6}=1.333…\ ,\ \frac{10}{6}=1.666…\ ,\ \frac{14}{6}=2.333…\ ,\ …$

$\frac{12}{9}=1.333…\ ,\ \frac{15}{9}=1.666…\ ,\ \frac{21}{9}=2.333…\ ,\ …$

$\frac{16}{12}=1.333…\ ,\ \frac{20}{12}=1.666…\ ,\ \frac{28}{12}=2.333…\ ,\ …$
　　　：

$\frac{3}{4}=0.75\ ,\ \frac{3}{5}=0.6\ ,\ \frac{3}{7}=0.428…\ ,\ …$

$\frac{6}{8}=0.75\ ,\ \frac{6}{10}=0.6\ ,\ \frac{6}{14}=0.428…\ ,\ …$

$\frac{9}{12}=0.75\ ,\ \frac{9}{15}=0.6\ ,\ \frac{9}{21}=0.428…\ ,\ …$

$\frac{12}{16}=0.75\ ,\ \frac{12}{20}=0.6\ ,\ \frac{12}{28}=0.428…\ ,\ …$
　　　：

● $\ n \geqq 4\$ のとき

上記の①～④の判定を繰り返すと、判定済みの全ての既約分数は、計算結果が異なる分数になる。