丿乀庵【へつぽつあん】

へっぽこプログラマーの覚え書き

分数の逆数と比例式（２９）

今回は、前回確かめたことが、分数の計算結果が、 $\ 1\$ より大きい小数の場合､整数の場合にも成り立つか確かめてみる。

●分数の計算結果が $\ 1\$ より大きい小数の場合

$\frac{16}{10}\$ の計算結果 $\ 1.6\$ について、 $\frac{a}{b}=z\$ を $z×b=a\$ に式変形した計算結果は以下のようになる。

1.6×1=1.6 $\ \ (\frac{1.6}{1}=1.6)$

1.6×2=3.2 $\ \ (\frac{3.2}{2}=1.6)$

1.6×3=4.8 $\ \ (\frac{4.8}{3}=1.6)$

1.6×4=6.4 $\ \ (\frac{6.4}{4}=1.6)$

1.6×5=8 $\ \ (\frac{8}{5}=1.6)$

1.6×6=9.6 $\ \ (\frac{9.6}{6}=1.6)$

1.6×7=11.2 $\ \ (\frac{11.2}{7}=1.6)$

1.6×8=12.8 $\ \ (\frac{12.8}{8}=1.6)$

1.6×9=14.4 $\ \ (\frac{14.4}{9}=1.6)$

1.6×10=16 $\ \ (\frac{16}{10}=1.6)$

1.6×11=17.6 $\ \ (\frac{17.6}{11}=1.6)$

1.6×12=19.2 $\ \ (\frac{19.2}{12}=1.6)$

上記の計算式では、 $z×b=a\$ の $\ z\$ を変えずに $\ b\$ だけ変えていてるので、計算結果から得られる分数は、全て $\ \frac{1.6}{1}$ を倍分した分数になる。

比に置き換えると、上記の計算式から得られる比は、全て $\ 1.6:1\$ を倍分した比になる。

$\ 1.6:1\$ を、一番小さい整数の比にする。

・ $\ 1.6:1\$ を10で倍分すると $\ 16:10\$ になる。
・ $\ 16:10\$ を2で約分すると $\ 8:5\$ になる。

これ以上、整数で約分できないので、 $\ 1.6:1\$ の一番小さい整数の比は $\ 8:5\$ になる。

一番小さい整数の比 $\ 8:5\$ は、 $z×b=a\$ の形の計算式では $\ 1.6×5=8$ になるので、 $b\ が\ 5\ の倍数$ のときに $a\$ が整数になることになる。

比で考えたことを分数に置き換えて考え直すと、 $\frac{16}{10}\$ の計算結果 $\ 1.6$ を $\ z × b= a\$ の形で計算して得られた分数について以下のことがいえる。

分母と分子が両方とも整数の分数で、分母と分子が一番小さい数になるのは、既約分数 $\ \frac{8}{5}\$ である。

分母と分子が両方とも整数になるのは、 $\ \frac{8}{5}\$ を倍分した分数である。

また、 $\frac{16}{10}\$ の計算結果 $\ 1.6\$ を $\ z × b= a\$ の形で計算して得られる分数は、全て $\ \frac{1.6}{1}$ を倍分した分1なので、そこから分母・分子が両方とも整数の分数だけを取り出したあとの全ての分数は、同じ既約分数 $\ \frac{8}{5}\$ を倍分した分数になる。

●分数の計算結果が整数の場合

$\frac{6}{2}\$ の計算結果 $\ 3\$ について、 $\frac{a}{b}=z\$ を $z×b=a\$ に式変形した計算結果は以下のようになる。

3×1=3 $\ \ (\frac{3}{1}=3)$

3×2=6 $\ \ (\frac{6}{2}=3)$

3×3=9 $\ \ (\frac{9}{3}=3)$

3×4=12 $\ \ (\frac{12}{4}=3)$

3×5=15 $\ \ (\frac{15}{5}=3)$

3×6=18 $\ \ (\frac{18}{6}=3)$

3×7=21 $\ \ (\frac{21}{7}=3)$

3×8=24 $\ \ (\frac{24}{8}=3)$

3×9=14.4 $\ \ (\frac{27}{9}=3)$

3×10=30 $\ \ (\frac{30}{10}=3)$

3×11=33 $\ \ (\frac{33}{11}=3)$

3×12=36 $\ \ (\frac{36}{12}=3)$

上記の計算式では、 $z×b=a\$ の $\ z\$ を変えずに $\ b\$ だけ変えていてるので、計算結果から得られる分数は、全て $\ \frac{3}{1}$ を倍分した分数になる。

分数の計算結果が整数の場合、 $z\ と\ b\$ が両方とも整数なので、aは必ず整数になるため比に置き換える必要がない。

分母と分子が両方とも整数の分数で、分母と分子が一番小さい数になるのは、既約分数 $\ \frac{3}{1}\$ である。

また、 $\frac{6}{2}\$ の計算結果 $\ 3\$ を $\ z × b= a\$ の形で計算して得られる分数は、全て $\ \frac{3}{1}$ を倍分した分数なので、そこから分母・分子が両方とも整数の分数だけを取り出したあとの全ての分数は、同じ既約分数 $\ \frac{3}{1}\$ を倍分した分数になる。