分数の逆数と比例式（１４） - 丿乀庵【へつぽつあん】

今回は、倍分や約分の意味について、あらためて考えてみる。

分数の倍分や約分は、どんな数で倍分するか、どんな数で約分するかに関係なく、1を掛けることを意味する。

倍分は分母と分子の両方に同じ数を掛ける。約分は分母と分子の両方を同じ数を割る。これらは、どちらも、もとの分数に分母と分子が同じ分数を掛けることになるので、1を掛けることになる。

これは、実際に計算すると、分母と分子の数は変わるが、分数としての値（分子 ÷ 分母の計算結果）は、もとの分数と同じであることを意味する。　

文字式で確認すると以下のようになる。　

①もとの分数 $\ \frac{a}{b}\$ を $\ \ m\$ で倍分する。

$\frac {a \cdot \color{red}{m}} {b \cdot \color{green}{m}} = \frac{a}{b} × \frac {\color{red}{m}} {\color{green}{m}}$

$= \frac {a} {b} × 1$

②もとの分数 $\ \frac{a}{b}\$ を $\ m\$ で約分する（１）
$\frac {\ \frac {a} {\color{red}{m}} \ } {\ \frac {b} {\color{green}{m}} \ } = \frac {a} {\color{red}{m}} × \frac {\color{green}{m}} {b} = \frac {a \cdot \color{green}{m}} {\color{red}{m} \cdot b} = \frac {a \cdot \color{green}{m}} {b \cdot \color{red}{m}} = \frac{a}{b} × \frac {\color{green}{m}} {\color{red}{m}}$

$= \frac{a}{b}×1$

分数の割り算は、割る数の分母と分子を入れ替えて掛け算で計算するので、m の分母と分子の色が①とは逆になる。

なお、 $\ \frac{a}{b}\ =\ \frac{j\ ×\ m}{k\ ×\ m}$ （ $\frac{j}{k}\$ は、 $\frac{a}{b}\$ を $\ m\$ で約分した分数）とした場合、上記の約分の計算②を文字式で表すと以下のようになる。

③もとの分数 $\ \frac{a}{b}\$ を $\ m\$ で約分する（２）

$\ \frac{a}{b}\ =\ \frac{j\ ×\ m}{k\ ×\ m}$ （ $\frac{j}{k}\$ は、 $\frac{a}{b}\$ を $\ m\$ で約分した分数）

$\frac {\ \frac{j \cdot m}{\color{red}{m}}\ } {\ \frac{k \cdot m}{\color{green}{m}}\ } = \frac {\ j\ ×\ \frac{m}{\color{red}{m}}\ } {\ k\ ×\ \frac{m}{\color{green}{m}}\ } = \frac {j\ ×\ 1} {k\ ×\ 1} = \frac{j}{k} × 1$

②と③は同じ計算をしているので、 $\frac{a}{b} = \frac{j}{k}$ となる。

分数の割り算を分数のまま計算するので、m の分母と分子の色は①と同じになる。