分数の逆数と比例式（２５） - 丿乀庵【へつぽつあん】

前回まで、分数の逆数は既約分数を倍分する形で、比の外項の積・内項の積は一番小さい整数の比を倍分する形で、考えた。

その前提条件は、計算結果が同じ分数は既約分数が同じになることであった。

今回から、その理由について考える。

結論を先にいっておくと、 $\frac{a}{b}\$ という形で表される全ての分数の中で、任意の既約分数 $\ \frac{j}{k}\$ と計算結果が同じになる分数は、分数 $\ \frac{j}{k}\$ を倍分した可約分数だけだからである。 $(a\ ,\ b\ ,\ j\ ,\ k\ は、0\ より大きい整数)$

つまり、全ての既約分数の計算結果は異なる値になる。

もう少し詳しく説明すると以下のようになる。

$\frac{a}{b}\$ という形で表される全ての分数から、任意の既約分数 $\ \frac{j}{k}\$ をもとに以下の二つの集合を作る。

$A=\{\frac{a}{b}\ |\ a \lt j \ 、または、\ b \lt k\}$
$B=\{\frac{a}{b}\ |\ a>j\ 、または、\ b>k\}$

$集合A$ の中に、既約分数 $\ \frac{j}{k}\$ と計算結果が同じになる分数は存在しない。

$集合B$ の中で、既約分数 $\ \frac{j}{k}\$ と計算結果が同じになる分数は $\ \frac{j}{k}\$ を倍分した可約分数だけである。