丿乀庵【へつぽつあん】

へっぽこプログラマーの覚え書き

分数の逆数と比例式（２６）

既約分数の一意性について考えるために、その前段階として、計算結果が同じになる分数とはどういう分数なのかについて考える。

分数 $\ \frac{a}{b}\$ の計算結果は $\ a \div b\$ で求める。

$a\ ,\ b\ が\ 0\$ より大きい整数のとき、任意の $\ a\ ,\ b\$ について $\ \frac{a}{b}=z\$ のとき、計算結果が同じ $\ z\$ になる分数について考える。

$\frac{a}{b}=z\$ を式変形すると、 $z×b=a\$ となる。

これは、計算結果 $\ (z)\$ が同じ分数 $\ \frac{a}{b}\$ は、掛け算で表すと全て $\ z × b= a\$ の形になることを意味するので、 $b\ に\ 0\$ より大きい整数を小さい数から順に代入して計算すれば、計算結果が $\ z\$ になる分数を全て求めることができる。
(数の大きさには上限がないので実際に全ての数を求めることはできないが、理論上は可能)

以下に、分子の数 $\lt$ 分母の数、分子の数 $\gt$ 分母の数、分子の数 $=$ 分母の数、の場合の $\ z × b= a\$ の計算例を示す。
(分子に小数が含まれているものがあるが、今回は、このままにしておく。）

●分子の数 $\lt$ 分母の数の場合
(例)計算結果が 0.75 になる分数

0.75×1=0.75 $\ \ (\frac{0.75}{1}=0.75)$

0.75×2=1.5 $\ \ (\frac{1.5}{2}=0.75)$

0.75×3=2.25 $\ \ (\frac{2.25}{3}=0.75)$

0.75×4=3 $\ \ (\frac{3}{4}=0.75)$

0.75×5=3.75 $\ \ (\frac{3.75}{5}=0.75)$

0.75×6=4.5 $\ \ (\frac{4.5}{6}=0.75)$

0.75×7=5.25 $\ \ (\frac{5.25}{7}=0.75)$

0.75×8=6 $\ \ (\frac{6}{8}=0.75)$

0.75×9=6.75 $\ \ (\frac{6.75}{9}=0.75)$

0.75×10=7.5 $\ \ (\frac{7.5}{10}=0.75)$

0.75×11=8.25 $\ \ (\frac{8.25}{11}=0.75)$

0.75×12=9 $\ \ (\frac{9}{12}=0.75)$

●分子の数 $\gt$ 分母の数の場合
(例)計算結果が2.5になる分数

2.5×1=2.5 $\ \ (\frac{2.5}{1}=2.5)$

2.5×2=5 $\ \ (\frac{5}{2}=2.5)$

2.5×3=7.5 $\ \ (\frac{7.5}{3}=2.5)$

2.5×4=10 $\ \ (\frac{10}{4}=2.5)$

2.5×5=12.5 $\ \ (\frac{12.5}{5}=2.5)$

2.5×6=15 $\ \ (\frac{15}{6}=2.5)$

2.5×7=17.5 $\ \ (\frac{17.5}{7}=2.5)$

2.5×8=20 $\ \ (\frac{20}{8}=2.5)$

2.5×9=22.5 $\ \ (\frac{22.5}{9}=2.5)$

2.5×10=25 $\ \ (\frac{25}{10}=2.5)$

2.5×11=27.5 $\ \ (\frac{27.5}{11}=2.5)$

2.5×12=30 $\ \ (\frac{30}{12}=2.5)$

●分子の数 $=$ 分母の数の場合
(例)計算結果が 1 になる分数

1×1=1 $\ \ (\frac{1}{1}=1)$

1×2=2 $\ \ (\frac{2}{2}=1)$

1×3=3 $\ \ (\frac{3}{3}=1)$

1×4=4 $\ \ (\frac{4}{4}=1)$

1×5=5 $\ \ (\frac{5}{5}=1)$

1×6=6 $\ \ (\frac{6}{6}=1)$

1×7=7 $\ \ (\frac{7}{7}=1)$

1×8=8 $\ \ (\frac{8}{8}=1)$

1×9=9 $\ \ (\frac{9}{9}=1)$

1×10=10 $\ \ (\frac{10}{10}=1)$

1×11=11 $\ \ (\frac{11}{11}=1)$

1×12=12 $\ \ (\frac{12}{12}=1)$