分数の逆数と比例式（１） - 丿乀庵【へつぽつあん】

比例式 $\ a:b = c:d\$ の二つの比が同じとき、外項の積( $a×d$ )と内項の積( $b×c$ )が等しくなることを分数の逆数を使って考える。

詳しい説明は後回しにして、以下に証明をのせる。

まず、分数の逆数について証明して、その結果を使って、比例式の外項の積と内項の積について証明する。

【証明①： $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\$ のとき、 $\frac{c}{d}\$ の分母・分子を入れ替えた分数は、 $\ \frac{a}{b}\$ の逆数になる。】

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\ のとき$

$\frac{a}{b}\ と \frac{c}{d}\ の既約分数は同じになるので$
$既約分数\ ,\ \frac{a}{b}\ ,\ \frac{c}{d}\ を以下のように定義する。$

$\frac{a}{b}\ ,\ \frac{c}{d}\ の既約分数 =\frac{j}{k}$
$\frac{a}{b} = \frac{jm}{km}\ \ …(既約分数を\ m\ で倍分した値)$
$\frac{c}{d} = \frac{jn}{kn}\ \ …(既約分数を\ n\ で倍分した値)$

$(a > 0\ ,\ \ b > 0\ ,\ \ c > 0\ ,\ \ d > 0\ ,\\ \ j > 0\ ,\ \ k > 0\ ,\ \ m > 0\ ,\ \ n > 0)$

$…\ 上記の値で\ \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d}\ の分母・分子を$
$…\ 入れ替えた分数)を計算する。$
$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
$=\frac{jm}{km} \cdot \frac{kn}{jn} = \frac{jmkn}{kmjn} = \frac{jkmn}{jkmn}$
$= 1$