丿乀庵【へつぽつあん】

へっぽこプログラマーの覚え書き

a/x + x/b = c の平方完成を使った計算例(2)

(2)  \frac  {a}{x} + \frac  {x}{b} = cでxが2つ求まる例

 \frac  {18}{x} + \frac  {x}{3} = 5
…左辺を3xで通分する。
 \frac  {18 \times 3}{x \times 3} + \frac  {x \times x}{3 \times  x} = 5

 \frac  {54}{3x} + \frac  {x ^ 2}{3x} = 5
…左辺を一つの分数にする。
 \frac  {54 + x ^ 2}{3x} = 5

…両辺に3xを掛ける。
 \frac  {54 + x ^ 2}{3x} \times 3x = 5 \times 3x

 \frac  {(54 + x ^ 2)3x}{3x} = 15x
…左辺を3xで約分して分母を払う。
 54 + x ^ 2 = 15x
…両辺から15xを引く。
 54 + x ^ 2 - 15x = 15x - 15x
 54 + x ^ 2 - 15x = 0
…左辺をxの降べき順に並べかえる。
 x ^ 2 - 15x + 54 = 0

…平方完成を使ってxを求める。
 (x - \frac  {1}{2}15)^2  - (\frac  {1}{2}15)^2  + 54 = 0

 (x - 7.5)^2  - (7.5)^2  + 54 = 0
 (x - 7.5)^2  - 56.25  + 54 = 0
 (x - 7.5)^2  - 2.25 = 0
…両辺に2.25を足す。
 (x - 7.5)^2  - 2.25 + 2.25 = 0 + 2.25
 (x - 7.5)^2 = 2.25
…両辺の平方根を求める。
 \sqrt {(x - 7.5)^2} = ± \sqrt {2.25}
…両辺のルートを外す。
 x - 7.5 = ± 1.5
…両辺に7.5を足す
 x - 7.5  + 7.5 = 7.5 ± 1.5
 x = 7.5 ± 1.5

7.5 + 1.5 = 9
7.5 - 1.5 = 6

よって、x=9、または、x=6となる。