a/x + x/b = c の平方完成を使った計算例(2) - 丿乀庵【へつぽつあん】

(2) $\frac {a}{x} + \frac {x}{b} = c$ でxが2つ求まる例

$\frac {18}{x} + \frac {x}{3} = 5$
…左辺を3xで通分する。
$\frac {18 \times 3}{x \times 3} + \frac {x \times x}{3 \times x} = 5$

$\frac {54}{3x} + \frac {x ^ 2}{3x} = 5$
…左辺を一つの分数にする。
$\frac {54 + x ^ 2}{3x} = 5$

…両辺に3xを掛ける。
$\frac {54 + x ^ 2}{3x} \times 3x = 5 \times 3x$

$\frac {(54 + x ^ 2)3x}{3x} = 15x$
…左辺を3xで約分して分母を払う。
$54 + x ^ 2 = 15x$
…両辺から15xを引く。
$54 + x ^ 2 - 15x = 15x - 15x$
$54 + x ^ 2 - 15x = 0$
…左辺をxの降べき順に並べかえる。
$x ^ 2 - 15x + 54 = 0$

…平方完成を使ってxを求める。
$(x - \frac {1}{2}15)^2 - (\frac {1}{2}15)^2 + 54 = 0$

$(x - 7.5)^2 - (7.5)^2 + 54 = 0$
$(x - 7.5)^2 - 56.25 + 54 = 0$
$(x - 7.5)^2 - 2.25 = 0$
…両辺に2.25を足す。
$(x - 7.5)^2 - 2.25 + 2.25 = 0 + 2.25$
$(x - 7.5)^2 = 2.25$
…両辺の平方根を求める。
$\sqrt {(x - 7.5)^2} = ± \sqrt {2.25}$
…両辺のルートを外す。
$x - 7.5 = ± 1.5$
…両辺に7.5を足す
$x - 7.5 + 7.5 = 7.5 ± 1.5$
$x = 7.5 ± 1.5$

7.5 + 1.5 = 9
7.5 - 1.5 = 6

よって、x=9、または、x=6となる。