丿乀庵【へつぽつあん】

へっぽこプログラマーの覚え書き

掛け算の順序問題について考えてみた

私は算数や数学の専門家ではなく、数学を専攻していたわけでもありません。算数や数学が得意とか大好きというわけでもありません。むしろ算数や数学は大の苦手です。そのため、とんでもない間違いや思い違いがあるかもしれません。この記事は自分のための覚え書きとして書いています。

前置きはこれぐらいにして、かけ算の順序問題について考えてみたいと思います。

小学校の算数のテストで「6人にそれぞれ4個ずつミカンを配ったらミカンは全部で何個になるか」という問題で計算式を「6×4」と書いたら間違いになった。「4×6」だけが正解で「6×4」が間違いなのはおかしいんじゃないか。そういう問題です。

結論を先に書いておきます。私の考えは以下の通りです。

掛け算の順序を守らなければ間違いとしてもいい。ただし割り算の等分除と包含除のように掛け算にも2つの考え方があるからどちらの意味で使うのかで掛けられる数と掛ける数を何にするかを変えたほうがいい。

「2枚のホットケーキをそれぞれ4個ずつに切り分けたらホットケーキは全部で何個になるか」というような問題の計算式は「2(枚)×4(個ずつ)=8(個)」という順序を守る。

「2人にそれぞれ4個ずつミカンを配ったらミカンは全部で何個になるか」というような問題の計算式は「4(個ずつ)×2(人)=8(個)」という順序を守る。

上の結論に至った理由を以下に詳しく説明します。

掛け算の順序を守るべきだという人たちは「計算」と「式の書き方」をわけて考えているようです。

「6×4」も「4×6」も計算の結果は同じです。しかし、掛け算の式には(もとの数)×(何倍)という意味があって、掛けられる数(もとの数)と掛ける数(何倍)はそれぞれ働きというか役割が違います。「6人にそれぞれ4個ずつミカンを配ったらミカンは全部で何個になるか」という問題を「4(個)の6倍」と考えるのは正しいが「6(人)の4倍」と考えるのは間違っている。式に書くときも「4(個)の6倍」という意味になる「4×6」は正しいが、そうではない「6×4」は間違っているということのようです。

なるほどと思える理由です。しかし、だからといって掛け算の式の順序を守らせるために掛け算の式をすべて(○個ずつ)×(□人)といったような順序にするのは問題があります。「(○個ずつ)×(□人)」と「(もとの数)×(何倍)」は意味が重なる部分もありますが完全に同じではないからです。

その点について考えるために、割り算の等分除と包含除や、掛け算と割り算の関係や、について考えてみます。

割り算には等分除と包含除という2つの考え方があります。掛け算は割り算の逆演算です。割り算の計算とその結果を逆にたどれるように掛け算にも等分除や包含除と同じような考え方があってもいい気がします。

6÷3という計算を等分除で考えると「6個のミカンを3人で等しくわけたら1人あたりのミカンの数は何個か」というような意味になります。

6÷3という計算を包含除で考えると「6個のミカンを1人につき3個ずつ配ったら何人に配れるか」というような意味になります。

割り算の等分除と包含除に相当するものが掛け算にもあるのか調べてみましたが見つかりませんでした。ここでは仮に、等分除に相当するものを等倍乗、包含除に相当するものを包含乗、と呼ぶことにします。

等倍乗は「2枚のホットケーキをそれぞれ4個ずつに切り分けたらホットケーキは全部で何個になるか」というような考え方です。

包含乗は「2人にそれぞれ4個ずつミカンを配ったらミカンは全部で何個になるか」というような考え方です。

「(○個ずつ)×(□人)」と「(もとの数)×(何倍)」の意味が同じになるのは包含乗のときだけです。等倍乗で「(○個ずつ)×(□人)」という式を書くと「(何倍)×(もとの数)」という意味になってしまいます。

おそらく、今どきの算数のテストでは、「2枚のホットケーキをそれぞれ4個ずつに切り分けたらホットケーキは全部で何個になるか」という問題も、「2人にそれぞれ4個ずつミカンを配ったらミカンは全部で何個になるか」という問題も、計算式に「2×4」と書いたら間違いにされて「4×2」が正しいとされてしまうのでしょう。

だけど、「2枚のホットケーキをそれぞれ4個ずつに切り分けたらホットケーキは全部で何個になるか」という問題の計算式で「2×4」が間違いになるのだけはどう考えても納得できません。さすがにそれはまずいんじゃないかなと思ったので、上で述べたような結論に至りました。


2017.06.13追記

掛けられる数と掛ける数の働きの違いを理解していて「(もとの数)×(何倍)」という考え方がわかっていれば、ホットケーキの問題の掛け算の式は「2(枚)×4(個ずつ)=8(個)」と書くのが正解のはずです。


しかし、掛け算の式の順序は「(○個ずつ)×(□人)」だけが正解ということになると、本来正解のはずの「2(枚)×4(個ずつ)=8(個)」という答が間違いになってしまいます。それはまずいだろうと思うわけです。

薄い本と厚い本

30年以上前、エロケンが高校三年生の時に国語の先生が授業中に言っておられた何気ない一言が印象に残っています。

それは、同じ金額で問題集を買うなら値段が高くて厚い本を1冊買うよりも値段が安くて薄い本を何冊も買った方がいいということでした。

複数の問題集に同じ問題が出ていたらその問題は基本的で重要な問題だから、薄い本を何冊も買うとそういう問題を解く力が自然に身につくということでした。

結局問題集は買わなかったのでそのアドバイスを参考にすることはありませんでした。しかし、受験の問題集に限らずいろんなことに当てはまる考え方だと思います。

自分が知らない問題について調べるときは厚い専門書を1冊だけ読むよりも、文庫本・新書・ブルーバックスなどの安くて薄い入門書を何冊も読んだ方がいいと思います。

どの本にも出ていることは基本的で重要なことでしょう。同じことを何度も読むことになるので自然に基本的で重要な知識が身につきます。基本的な内容をしっかりと理解できていれば入門書の次に厚い専門書を読んでも理解しやすいはずです。

また、世の中のいろいろな問題に対する答えとして正解が1つだけということはめったにありません。だから最低でも3冊は読むべきだと思います。

調べている問題について3冊とも同じ考え方であればその問題についてはほとんどの人が同じ考えを持っている。考え方が2対1にわかれていれば多数派と少数派の考えがある。3冊とも違う考え方であれば人によって考えが違っている。そういったこともわかります。

多数派の考えが常に正しいとは限りませんが、世の中に様々な考えがあることや自分の考えが多数派なのか少数派なのかを知っておくことは大事なことだと思います。

不知と無知

ソクラテスの弁明」 (プラトン(著)・納富 信留(訳)/光文社古典新訳文庫)の解説に、「不知」と「無知」の違い、「知る」と「思う」の違い、哲学の出発点、について書かれていました。哲学のことはまったくわからないのですが自分なりに考えてみました。

まず、「不知」と「無知」の違い、「知る」と「思う」の違いについて以下のように説明されています。

私たちの日常では、なんとなくそう思ったり、それなりの確信があったりする時にも、「知っている」という認定をすることがある。しかし、厳密に言えば、「知る」とは、明確な根拠をもって真理を把握しているあり方を指し、「知っている者」は、その内容や原因を体系的に説明できなければならない。

たとえば、3辺が3:4:5の比をなす三角形が直角三角形であることは、「見れば分かる」とか、「たまたま経験で知っている」とか、「学校で習った」というだけではなく、自分で「3平方の定理」を使って証明できなければ、本当に知っていることにはならない。答えが誤っている場合ばかりでなく、その根拠をきちんと把握していない状態も、「知る」にはあたらないのである。それは、たんに「思う」という状態に過ぎない。

本当は大切なことを知らないにも関わらず、地位や評判や技量によって自分こそ知恵ある者だと思いこんでいる。この「無知」(アマティアー)、つまり「知らないこと」(不知、アグノイア)を自覚していない状態こそが、最悪の恥ずべきあり方であった(プラトンは、「知らない」ことをめぐる状態を、「不知/無知」という語で基本的に分けている。この区別をきちんとつけないと、混乱や誤りに陥るので注意)。

「自分が何も知らない」と思っていることを「不知」といい、「自分が何も知らない」ことを自覚していないことを「無知」という。「知っているつもり」と「知っている」は違う。教科書・新聞・辞書・本などに書かれていることを覚えただけでは知っているとはいえない。そういう意味だと思います。

直角三角形の例でいえば、三平方の定理を使うだけでなく、三平方の定理がなぜ成り立つのかも理解していなければ本当に知っていることにはらならいのでしょう。

自分自身はどうなのかと考えてみると、やや不知よりの無知のような気がします。頭が悪くて要領が悪いから難しいことはわからないという自覚があります。知っているつもりのことは同年代の人間に比べてはるかに少ない気がします。知っているつもりのことのほとんどは教科書や本に書かれていることを覚えただけで自分の中で納得できる形で消化できていません。それにもかかわらず知っているつもりのことのいくつかは本当に理解していると思い込んでいます。

次に、「知る」と「思う」の違いをもとに哲学の出発点について以下のように説明されています。

ここで大切なのは、ソクラテスが「知らないと思っている」という慎重な言い方をしていて、日本で流布する「無知の知」(無知を知っている)といった表現は用いていない点である

日常ではあまり重要とは思われない、この「知る/思う」の明確な区別こそ、「知を愛し求める」(フィロソフェイン)営みとしての「哲学」の出発点となる。それは、ソクラテスのように自分がはっきりと「知らない」という自覚をもつ場合にだけ、その知らない対象を「知ろう」とする動きが始まるからである。

自分自身はどうなのかと考えてみるとあまり哲学向きではない気がします。意味や理由がわからないことがあっても深く考えずに気にしないことがほとんどです。ごくまれに妙な違和感を感じることがあって意味や理由がわからずもやもやした感じが心のどこかにひっかかったままになります。そのもやもやを解消するために少し調べてみてわからなかったらそれ以上考えるのをやめてしまいます。


自分自身に当てはめて考えてみた場合、やや不知よりな無知で、哲学向きではない、そんな中途半端な結果になりました。哲学者になるつもりはないし、なろうとしても不向きなようです。それでも違和感を感じてもやもやしたらできるだけ解消していきたいなと思いました。


ソクラテスの弁明 (光文社古典新訳文庫)

ソクラテスの弁明 (光文社古典新訳文庫)

はてなブログはじめました

はじめまして、丿乀庵の庵主erokenです。

「丿乀」は「へつぽつ」と読みます。船が左右に揺れる様子を意味する言葉らしいです。職業が「へっぽこプログラマー(自称)」なので、「へっぽこ」と音が似ている言葉を無理やり探してきました。

何事にも自信がなくて他人に何か指摘さらるたびに不安になって考えが右や左に揺れ動く自分にぴったりの言葉かもしれません。

短大の農学科を卒業しているので理系か文系かでわけると理系になるはずです。でも理数系の科目はさっぱりわかりません。数式、電気回路図、論理回路図、分子構造式などを見ると意味不明のため拒絶反応を起こします。だからといって国語が得意なわけでもないので文系でもなさそうです。

あえていうなら中学生ぐらいの学力しなかないオバカ系でしょうか。

このブログにはテーマを特に決めずに思いついたことを投稿していく予定です。

ところで、このブログのタイトルは自分のandroid端末では正常に表示されているけどPC、iPhoneガラケーなどの端末では正常に表示されているのかな。